Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
drsbn0.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
drsdirfi.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
drsprs |
⊢ ( 𝐾 ∈ Dirset → 𝐾 ∈ Proset ) |
4 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) ) → 𝐾 ∈ Dirset ) |
5 |
|
elinel1 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ) |
6 |
5
|
elpwid |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) → 𝑥 ⊆ 𝐵 ) |
7 |
6
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) ) → 𝑥 ⊆ 𝐵 ) |
8 |
|
elinel2 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) → 𝑥 ∈ Fin ) |
9 |
8
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) ) → 𝑥 ∈ Fin ) |
10 |
1 2
|
drsdirfi |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ Fin ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ) |
11 |
4 7 9 10
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ) |
12 |
11
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝐾 ∈ Dirset → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ) |
13 |
3 12
|
jca |
⊢ ( 𝐾 ∈ Dirset → ( 𝐾 ∈ Proset ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ) ) |
14 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Proset ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ) → 𝐾 ∈ Proset ) |
15 |
|
0elpw |
⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐵 |
16 |
|
0fin |
⊢ ∅ ∈ Fin |
17 |
15 16
|
elini |
⊢ ∅ ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) |
18 |
|
raleq |
⊢ ( 𝑥 = ∅ → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦 ) ) |
19 |
18
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑥 = ∅ → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦 ) ) |
20 |
19
|
rspcv |
⊢ ( ∅ ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 → ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦 ) ) |
21 |
17 20
|
ax-mp |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 → ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦 ) |
22 |
|
rexn0 |
⊢ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝐵 ≠ ∅ ) |
23 |
21 22
|
syl |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 → 𝐵 ≠ ∅ ) |
24 |
23
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Proset ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ) → 𝐵 ≠ ∅ ) |
25 |
|
raleq |
⊢ ( 𝑥 = { 𝑎 , 𝑏 } → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑎 , 𝑏 } 𝑧 ≤ 𝑦 ) ) |
26 |
25
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑥 = { 𝑎 , 𝑏 } → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ { 𝑎 , 𝑏 } 𝑧 ≤ 𝑦 ) ) |
27 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Proset ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ) |
28 |
|
prelpwi |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → { 𝑎 , 𝑏 } ∈ 𝒫 𝐵 ) |
29 |
|
prfi |
⊢ { 𝑎 , 𝑏 } ∈ Fin |
30 |
29
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → { 𝑎 , 𝑏 } ∈ Fin ) |
31 |
28 30
|
elind |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → { 𝑎 , 𝑏 } ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) ) |
32 |
31
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Proset ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → { 𝑎 , 𝑏 } ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) ) |
33 |
26 27 32
|
rspcdva |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Proset ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ { 𝑎 , 𝑏 } 𝑧 ≤ 𝑦 ) |
34 |
|
vex |
⊢ 𝑎 ∈ V |
35 |
|
vex |
⊢ 𝑏 ∈ V |
36 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑎 → ( 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑎 ≤ 𝑦 ) ) |
37 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑏 → ( 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑏 ≤ 𝑦 ) ) |
38 |
34 35 36 37
|
ralpr |
⊢ ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑎 , 𝑏 } 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ( 𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦 ) ) |
39 |
38
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ { 𝑎 , 𝑏 } 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦 ) ) |
40 |
33 39
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Proset ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦 ) ) |
41 |
40
|
ralrimivva |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Proset ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ) → ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦 ) ) |
42 |
1 2
|
isdrs |
⊢ ( 𝐾 ∈ Dirset ↔ ( 𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑏 ≤ 𝑦 ) ) ) |
43 |
14 24 41 42
|
syl3anbrc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Proset ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ) → 𝐾 ∈ Dirset ) |
44 |
13 43
|
impbii |
⊢ ( 𝐾 ∈ Dirset ↔ ( 𝐾 ∈ Proset ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐵 ∩ Fin ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≤ 𝑦 ) ) |