| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
itgmulc2.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ ) |
| 2 |
|
itgmulc2.2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ 𝑉 ) |
| 3 |
|
itgmulc2.3 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝐿1 ) |
| 4 |
|
itgmulc2.4 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ ) |
| 5 |
|
itgmulc2.5 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
| 6 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ ) |
| 7 |
|
max0sub |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) − if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) = 𝐶 ) |
| 8 |
6 7
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) − if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) = 𝐶 ) |
| 9 |
8
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) − if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) · 𝐵 ) = ( 𝐶 · 𝐵 ) ) |
| 10 |
|
0re |
⊢ 0 ∈ ℝ |
| 11 |
|
ifcl |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) → if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ∈ ℝ ) |
| 12 |
4 10 11
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ∈ ℝ ) |
| 13 |
12
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ∈ ℂ ) |
| 14 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ∈ ℂ ) |
| 15 |
4
|
renegcld |
⊢ ( 𝜑 → - 𝐶 ∈ ℝ ) |
| 16 |
|
ifcl |
⊢ ( ( - 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) → if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ∈ ℝ ) |
| 17 |
15 10 16
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ∈ ℝ ) |
| 18 |
17
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ∈ ℂ ) |
| 19 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ∈ ℂ ) |
| 20 |
5
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℂ ) |
| 21 |
14 19 20
|
subdird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) − if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) · 𝐵 ) = ( ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) − ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) ) ) |
| 22 |
9 21
|
eqtr3d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐶 · 𝐵 ) = ( ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) − ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) ) ) |
| 23 |
22
|
itgeq2dv |
⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( 𝐶 · 𝐵 ) d 𝑥 = ∫ 𝐴 ( ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) − ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) ) d 𝑥 ) |
| 24 |
12
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ∈ ℝ ) |
| 25 |
24 5
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
| 26 |
13 2 3
|
iblmulc2 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) ) ∈ 𝐿1 ) |
| 27 |
17
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ∈ ℝ ) |
| 28 |
27 5
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
| 29 |
18 2 3
|
iblmulc2 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) ) ∈ 𝐿1 ) |
| 30 |
25 26 28 29
|
itgsub |
⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) − ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) ) d 𝑥 = ( ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) d 𝑥 ) ) |
| 31 |
|
ifcl |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) → if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ∈ ℝ ) |
| 32 |
5 10 31
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ∈ ℝ ) |
| 33 |
24 32
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) ∈ ℝ ) |
| 34 |
5
|
iblre |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝐿1 ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) ∈ 𝐿1 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) ∈ 𝐿1 ) ) ) |
| 35 |
3 34
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) ∈ 𝐿1 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) ∈ 𝐿1 ) ) |
| 36 |
35
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) ∈ 𝐿1 ) |
| 37 |
13 32 36
|
iblmulc2 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
| 38 |
5
|
renegcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → - 𝐵 ∈ ℝ ) |
| 39 |
|
ifcl |
⊢ ( ( - 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) → if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ∈ ℝ ) |
| 40 |
38 10 39
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ∈ ℝ ) |
| 41 |
24 40
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) ∈ ℝ ) |
| 42 |
35
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) ∈ 𝐿1 ) |
| 43 |
13 40 42
|
iblmulc2 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
| 44 |
33 37 41 43
|
itgsub |
⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) − ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) ) d 𝑥 = ( ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) d 𝑥 ) ) |
| 45 |
|
max0sub |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) − if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) = 𝐵 ) |
| 46 |
5 45
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) − if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) = 𝐵 ) |
| 47 |
46
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) − if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) ) = ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) ) |
| 48 |
32
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ∈ ℂ ) |
| 49 |
40
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ∈ ℂ ) |
| 50 |
14 48 49
|
subdid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) − if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) ) = ( ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) − ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) ) ) |
| 51 |
47 50
|
eqtr3d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) = ( ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) − ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) ) ) |
| 52 |
51
|
itgeq2dv |
⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) d 𝑥 = ∫ 𝐴 ( ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) − ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) ) d 𝑥 ) |
| 53 |
5 3
|
itgreval |
⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 = ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ) ) |
| 54 |
53
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 ) = ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ) ) ) |
| 55 |
32 36
|
itgcl |
⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ∈ ℂ ) |
| 56 |
40 42
|
itgcl |
⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ∈ ℂ ) |
| 57 |
13 55 56
|
subdid |
⊢ ( 𝜑 → ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ) ) = ( ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ) − ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ) ) ) |
| 58 |
|
max1 |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 0 ≤ if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) |
| 59 |
10 4 58
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) ) |
| 60 |
|
max1 |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → 0 ≤ if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) |
| 61 |
10 5 60
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 0 ≤ if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) |
| 62 |
13 32 36 12 32 59 61
|
itgmulc2lem1 |
⊢ ( 𝜑 → ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ) = ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) d 𝑥 ) |
| 63 |
|
max1 |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ - 𝐵 ∈ ℝ ) → 0 ≤ if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) |
| 64 |
10 38 63
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 0 ≤ if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) |
| 65 |
13 40 42 12 40 59 64
|
itgmulc2lem1 |
⊢ ( 𝜑 → ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ) = ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) d 𝑥 ) |
| 66 |
62 65
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ) − ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ) ) = ( ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) d 𝑥 ) ) |
| 67 |
54 57 66
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 ) = ( ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) d 𝑥 ) ) |
| 68 |
44 52 67
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) d 𝑥 = ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 ) ) |
| 69 |
27 32
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) ∈ ℝ ) |
| 70 |
18 32 36
|
iblmulc2 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
| 71 |
27 40
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) ∈ ℝ ) |
| 72 |
18 40 42
|
iblmulc2 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
| 73 |
69 70 71 72
|
itgsub |
⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) − ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) ) d 𝑥 = ( ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) d 𝑥 ) ) |
| 74 |
46
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) − if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) ) = ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) ) |
| 75 |
19 48 49
|
subdid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · ( if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) − if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) ) = ( ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) − ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) ) ) |
| 76 |
74 75
|
eqtr3d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) = ( ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) − ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) ) ) |
| 77 |
76
|
itgeq2dv |
⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) d 𝑥 = ∫ 𝐴 ( ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) − ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) ) d 𝑥 ) |
| 78 |
53
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 ) = ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ) ) ) |
| 79 |
18 55 56
|
subdid |
⊢ ( 𝜑 → ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · ( ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ) ) = ( ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ) − ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ) ) ) |
| 80 |
|
max1 |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ - 𝐶 ∈ ℝ ) → 0 ≤ if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) |
| 81 |
10 15 80
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) |
| 82 |
18 32 36 17 32 81 61
|
itgmulc2lem1 |
⊢ ( 𝜑 → ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ) = ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) d 𝑥 ) |
| 83 |
18 40 42 17 40 81 64
|
itgmulc2lem1 |
⊢ ( 𝜑 → ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ) = ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) d 𝑥 ) |
| 84 |
82 83
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ) − ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · ∫ 𝐴 if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) d 𝑥 ) ) = ( ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) d 𝑥 ) ) |
| 85 |
78 79 84
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 ) = ( ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ 𝐵 , 𝐵 , 0 ) ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · if ( 0 ≤ - 𝐵 , - 𝐵 , 0 ) ) d 𝑥 ) ) |
| 86 |
73 77 85
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) d 𝑥 = ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 ) ) |
| 87 |
68 86
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) d 𝑥 ) = ( ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 ) − ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 ) ) ) |
| 88 |
2 3
|
itgcl |
⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 ∈ ℂ ) |
| 89 |
13 18 88
|
subdird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) − if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) · ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 ) = ( ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 ) − ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 ) ) ) |
| 90 |
4 7
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) − if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) = 𝐶 ) |
| 91 |
90
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) − if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) ) · ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 ) = ( 𝐶 · ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 ) ) |
| 92 |
87 89 91
|
3eqtr2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ 𝐶 , 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) d 𝑥 − ∫ 𝐴 ( if ( 0 ≤ - 𝐶 , - 𝐶 , 0 ) · 𝐵 ) d 𝑥 ) = ( 𝐶 · ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 ) ) |
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23 30 92
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3eqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 · ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 ) = ∫ 𝐴 ( 𝐶 · 𝐵 ) d 𝑥 ) |