Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
itsclinecirc0b.i |
⊢ 𝐼 = { 1 , 2 } |
2 |
|
itsclinecirc0b.e |
⊢ 𝐸 = ( ℝ^ ‘ 𝐼 ) |
3 |
|
itsclinecirc0b.p |
⊢ 𝑃 = ( ℝ ↑m 𝐼 ) |
4 |
|
itsclinecirc0b.s |
⊢ 𝑆 = ( Sphere ‘ 𝐸 ) |
5 |
|
itsclinecirc0b.0 |
⊢ 0 = ( 𝐼 × { 0 } ) |
6 |
|
itsclinecirc0b.q |
⊢ 𝑄 = ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( 𝐵 ↑ 2 ) ) |
7 |
|
itsclinecirc0b.d |
⊢ 𝐷 = ( ( ( 𝑅 ↑ 2 ) · 𝑄 ) − ( 𝐶 ↑ 2 ) ) |
8 |
|
itsclinecirc0b.l |
⊢ 𝐿 = ( LineM ‘ 𝐸 ) |
9 |
|
itsclinecirc0b.a |
⊢ 𝐴 = ( ( 𝑋 ‘ 2 ) − ( 𝑌 ‘ 2 ) ) |
10 |
|
itsclinecirc0b.b |
⊢ 𝐵 = ( ( 𝑌 ‘ 1 ) − ( 𝑋 ‘ 1 ) ) |
11 |
|
itsclinecirc0b.c |
⊢ 𝐶 = ( ( ( 𝑋 ‘ 2 ) · ( 𝑌 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝑋 ‘ 1 ) · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) |
12 |
|
eqid |
⊢ ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) = ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) |
13 |
1 2 3 8 10 12 11
|
rrx2linest |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) = { 𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) = ( ( ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) + 𝐶 ) } ) |
14 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) → ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) = { 𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) = ( ( ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) + 𝐶 ) } ) |
15 |
|
eqcom |
⊢ ( ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) = ( ( ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) + 𝐶 ) ↔ ( ( ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) + 𝐶 ) = ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) ) |
16 |
1 3
|
rrx2pxel |
⊢ ( 𝑌 ∈ 𝑃 → ( 𝑌 ‘ 1 ) ∈ ℝ ) |
17 |
16
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑌 ‘ 1 ) ∈ ℝ ) |
18 |
1 3
|
rrx2pxel |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑃 → ( 𝑋 ‘ 1 ) ∈ ℝ ) |
19 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑋 ‘ 1 ) ∈ ℝ ) |
20 |
17 19
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑌 ‘ 1 ) − ( 𝑋 ‘ 1 ) ) ∈ ℝ ) |
21 |
10 20
|
eqeltrid |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
22 |
21
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
23 |
22
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
24 |
1 3
|
rrx2pyel |
⊢ ( 𝑝 ∈ 𝑃 → ( 𝑝 ‘ 2 ) ∈ ℝ ) |
25 |
24
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑝 ‘ 2 ) ∈ ℝ ) |
26 |
23 25
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
27 |
26
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
28 |
1 3
|
rrx2pyel |
⊢ ( 𝑌 ∈ 𝑃 → ( 𝑌 ‘ 2 ) ∈ ℝ ) |
29 |
28
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑌 ‘ 2 ) ∈ ℝ ) |
30 |
1 3
|
rrx2pyel |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑃 → ( 𝑋 ‘ 2 ) ∈ ℝ ) |
31 |
30
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑋 ‘ 2 ) ∈ ℝ ) |
32 |
29 31
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
33 |
32
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
34 |
33
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
35 |
1 3
|
rrx2pxel |
⊢ ( 𝑝 ∈ 𝑃 → ( 𝑝 ‘ 1 ) ∈ ℝ ) |
36 |
35
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑝 ‘ 1 ) ∈ ℝ ) |
37 |
34 36
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) ∈ ℝ ) |
38 |
37
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) ∈ ℂ ) |
39 |
31 17
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑋 ‘ 2 ) · ( 𝑌 ‘ 1 ) ) ∈ ℝ ) |
40 |
19 29
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑋 ‘ 1 ) · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
41 |
39 40
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( ( ( 𝑋 ‘ 2 ) · ( 𝑌 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝑋 ‘ 1 ) · ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
42 |
11 41
|
eqeltrid |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → 𝐶 ∈ ℝ ) |
43 |
42
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → 𝐶 ∈ ℂ ) |
44 |
43
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → 𝐶 ∈ ℂ ) |
45 |
44
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → 𝐶 ∈ ℂ ) |
46 |
27 38 45
|
subaddd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) − ( ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) ) = 𝐶 ↔ ( ( ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) + 𝐶 ) = ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) ) ) |
47 |
15 46
|
bitr4id |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) = ( ( ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) + 𝐶 ) ↔ ( ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) − ( ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) ) = 𝐶 ) ) |
48 |
31 29
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑋 ‘ 2 ) − ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
49 |
9 48
|
eqeltrid |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
50 |
49
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
51 |
50
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
52 |
51 36
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( 𝐴 · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) ∈ ℝ ) |
53 |
52
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( 𝐴 · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) ∈ ℂ ) |
54 |
53 27
|
addcomd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝐴 · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) + ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) ) = ( ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) + ( 𝐴 · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) ) ) |
55 |
29
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → ( 𝑌 ‘ 2 ) ∈ ℝ ) |
56 |
55
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑌 ‘ 2 ) ∈ ℝ ) |
57 |
56
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑌 ‘ 2 ) ∈ ℂ ) |
58 |
31
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → ( 𝑋 ‘ 2 ) ∈ ℝ ) |
59 |
58
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑋 ‘ 2 ) ∈ ℝ ) |
60 |
59
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑋 ‘ 2 ) ∈ ℂ ) |
61 |
57 60
|
negsubdi2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → - ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) = ( ( 𝑋 ‘ 2 ) − ( 𝑌 ‘ 2 ) ) ) |
62 |
9 61
|
eqtr4id |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → 𝐴 = - ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ) |
63 |
62
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( 𝐴 · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) = ( - ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) ) |
64 |
32
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
65 |
64
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
66 |
65
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
67 |
36
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑝 ‘ 1 ) ∈ ℂ ) |
68 |
66 67
|
mulneg1d |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( - ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) = - ( ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) ) |
69 |
63 68
|
eqtr2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → - ( ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) = ( 𝐴 · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) ) |
70 |
69
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) + - ( ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) ) = ( ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) + ( 𝐴 · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) ) ) |
71 |
27 38
|
negsubd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) + - ( ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) ) = ( ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) − ( ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) ) ) |
72 |
54 70 71
|
3eqtr2rd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) − ( ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) + ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) ) ) |
73 |
72
|
eqeq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) − ( ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) ) = 𝐶 ↔ ( ( 𝐴 · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) + ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) ) = 𝐶 ) ) |
74 |
47 73
|
bitrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) = ( ( ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) + 𝐶 ) ↔ ( ( 𝐴 · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) + ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) ) = 𝐶 ) ) |
75 |
74
|
rabbidva |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) → { 𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) = ( ( ( ( 𝑌 ‘ 2 ) − ( 𝑋 ‘ 2 ) ) · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) + 𝐶 ) } = { 𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ( ( 𝐴 · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) + ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) ) = 𝐶 } ) |
76 |
14 75
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) → ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) = { 𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ( ( 𝐴 · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) + ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) ) = 𝐶 } ) |
77 |
76
|
eleq2d |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) → ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ↔ 𝑍 ∈ { 𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ( ( 𝐴 · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) + ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) ) = 𝐶 } ) ) |
78 |
77
|
anbi2d |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) → ( ( 𝑍 ∈ ( 0 𝑆 𝑅 ) ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) ↔ ( 𝑍 ∈ ( 0 𝑆 𝑅 ) ∧ 𝑍 ∈ { 𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ( ( 𝐴 · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) + ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) ) = 𝐶 } ) ) ) |
79 |
50
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
80 |
22
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
81 |
42
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → 𝐶 ∈ ℝ ) |
82 |
81
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ ) |
83 |
1 3 10 9
|
rrx2pnedifcoorneorr |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → ( 𝐵 ≠ 0 ∨ 𝐴 ≠ 0 ) ) |
84 |
83
|
orcomd |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → ( 𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0 ) ) |
85 |
84
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) → ( 𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0 ) ) |
86 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) → ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) |
87 |
|
eqid |
⊢ { 𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ( ( 𝐴 · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) + ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) ) = 𝐶 } = { 𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ( ( 𝐴 · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) + ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) ) = 𝐶 } |
88 |
1 2 3 4 5 6 7 87
|
itsclc0b |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) → ( ( 𝑍 ∈ ( 0 𝑆 𝑅 ) ∧ 𝑍 ∈ { 𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ( ( 𝐴 · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) + ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) ) = 𝐶 } ) ↔ ( 𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ( ( ( 𝑍 ‘ 1 ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ ( 𝑍 ‘ 2 ) = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ∨ ( ( 𝑍 ‘ 1 ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ ( 𝑍 ‘ 2 ) = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ) ) ) ) |
89 |
79 80 82 85 86 88
|
syl311anc |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) → ( ( 𝑍 ∈ ( 0 𝑆 𝑅 ) ∧ 𝑍 ∈ { 𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ( ( 𝐴 · ( 𝑝 ‘ 1 ) ) + ( 𝐵 · ( 𝑝 ‘ 2 ) ) ) = 𝐶 } ) ↔ ( 𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ( ( ( 𝑍 ‘ 1 ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ ( 𝑍 ‘ 2 ) = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ∨ ( ( 𝑍 ‘ 1 ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ ( 𝑍 ‘ 2 ) = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ) ) ) ) |
90 |
78 89
|
bitrd |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷 ) ) → ( ( 𝑍 ∈ ( 0 𝑆 𝑅 ) ∧ 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ) ↔ ( 𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ( ( ( 𝑍 ‘ 1 ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ ( 𝑍 ‘ 2 ) = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) − ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ∨ ( ( 𝑍 ‘ 1 ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) − ( 𝐵 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ∧ ( 𝑍 ‘ 2 ) = ( ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( √ ‘ 𝐷 ) ) ) / 𝑄 ) ) ) ) ) ) |