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Theorem mdsymlem6

Description: Lemma for mdsymi . This is the converse direction of Lemma 4(i) of Maeda p. 168, and is based on the proof of Theorem 1(d) to (e) of Maeda p. 167. (Contributed by NM, 2-Jul-2004) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses mdsymlem1.1 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mdsymlem1.2 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mdsymlem1.3 ⊢ 𝐶 = ( 𝐴 ∨ℋ 𝑝 )
Assertion mdsymlem6 ( ∀ 𝑝 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) → 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mdsymlem1.1 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2 mdsymlem1.2 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3 mdsymlem1.3 ⊢ 𝐶 = ( 𝐴 ∨ℋ 𝑝 )
4 1 2 chjcomi ⊢ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) = ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 )
5 4 sseq2i ⊢ ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ↔ 𝑝 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) )
6 5 anbi2i ⊢ ( ( 𝑝 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ↔ ( 𝑝 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) )
7 ssin ⊢ ( ( 𝑝 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) ↔ 𝑝 ⊆ ( 𝑐 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) )
8 6 7 bitri ⊢ ( ( 𝑝 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) ↔ 𝑝 ⊆ ( 𝑐 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) )
9 1 2 3 mdsymlem5 ⊢ ( ( 𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ) → ( ¬ 𝑞 = 𝑝 → ( ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐 ) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ) → ( 𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) ) ) ) )
10 sseq1 ⊢ ( 𝑞 = 𝑝 → ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑝 ⊆ 𝐴 ) )
11 chincl ⊢ ( ( 𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∈ Cℋ )
12 2 11 mpan2 ⊢ ( 𝑐 ∈ Cℋ → ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∈ Cℋ )
13 chub2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∈ Cℋ ) → 𝐴 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) )
14 1 12 13 sylancr ⊢ ( 𝑐 ∈ Cℋ → 𝐴 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) )
15 sstr2 ⊢ ( 𝑝 ⊆ 𝐴 → ( 𝐴 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) )
16 14 15 syl5 ⊢ ( 𝑝 ⊆ 𝐴 → ( 𝑐 ∈ Cℋ → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) )
17 10 16 biimtrdi ⊢ ( 𝑞 = 𝑝 → ( 𝑞 ⊆ 𝐴 → ( 𝑐 ∈ Cℋ → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) ) )
18 17 impd ⊢ ( 𝑞 = 𝑝 → ( ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) )
19 18 a1i ⊢ ( 𝑝 ⊆ 𝑐 → ( 𝑞 = 𝑝 → ( ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) ) )
20 19 com13 ⊢ ( ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ Cℋ ) → ( 𝑞 = 𝑝 → ( 𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) ) )
21 20 adantrr ⊢ ( ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐 ) ) → ( 𝑞 = 𝑝 → ( 𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) ) )
22 21 ad2ant2r ⊢ ( ( ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐 ) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ) ) → ( 𝑞 = 𝑝 → ( 𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) ) )
23 22 adantll ⊢ ( ( ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐 ) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ) ) → ( 𝑞 = 𝑝 → ( 𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) ) )
24 23 com12 ⊢ ( 𝑞 = 𝑝 → ( ( ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐 ) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ) ) → ( 𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) ) )
25 24 expd ⊢ ( 𝑞 = 𝑝 → ( ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐 ) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ) → ( 𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) ) ) )
26 9 25 pm2.61d2 ⊢ ( ( 𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms ) → ( ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐 ) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ) → ( 𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) ) ) )
27 26 rexlimivv ⊢ ( ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐 ) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ) → ( 𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) ) )
28 27 com12 ⊢ ( ( ( 𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐 ) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ) → ( ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) → ( 𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) ) )
29 28 imim2d ⊢ ( ( ( 𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐 ) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ) → ( ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ( 𝑝 ⊆ 𝑐 → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) ) ) )
30 29 com34 ⊢ ( ( ( 𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐 ) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ) → ( ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑝 ⊆ 𝑐 → ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) ) ) )
31 30 imp4b ⊢ ( ( ( ( 𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐 ) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( 𝑝 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ) → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) )
32 8 31 biimtrrid ⊢ ( ( ( ( 𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐 ) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑝 ⊆ ( 𝑐 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) )
33 32 ex ⊢ ( ( ( 𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐 ) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms ) → ( ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑝 ⊆ ( 𝑐 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) ) )
34 33 ralimdva ⊢ ( ( 𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐 ) → ( ∀ 𝑝 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) → ∀ 𝑝 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑐 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) ) )
35 2 1 chjcli ⊢ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ∈ Cℋ
36 chincl ⊢ ( ( 𝑐 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ∈ Cℋ ) → ( 𝑐 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) ∈ Cℋ )
37 35 36 mpan2 ⊢ ( 𝑐 ∈ Cℋ → ( 𝑐 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) ∈ Cℋ )
38 chjcl ⊢ ( ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ∈ Cℋ )
39 12 1 38 sylancl ⊢ ( 𝑐 ∈ Cℋ → ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ∈ Cℋ )
40 chrelat3 ⊢ ( ( ( 𝑐 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) ∈ Cℋ ∧ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ∈ Cℋ ) → ( ( 𝑐 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ↔ ∀ 𝑝 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑐 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) ) )
41 37 39 40 syl2anc ⊢ ( 𝑐 ∈ Cℋ → ( ( 𝑐 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ↔ ∀ 𝑝 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑐 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) ) )
42 41 adantr ⊢ ( ( 𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐 ) → ( ( 𝑐 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ↔ ∀ 𝑝 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑐 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) → 𝑝 ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) ) )
43 34 42 sylibrd ⊢ ( ( 𝑐 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑐 ) → ( ∀ 𝑝 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑐 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) )
44 43 ex ⊢ ( 𝑐 ∈ Cℋ → ( 𝐴 ⊆ 𝑐 → ( ∀ 𝑝 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑐 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) ) )
45 44 com3r ⊢ ( ∀ 𝑝 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑐 ∈ Cℋ → ( 𝐴 ⊆ 𝑐 → ( 𝑐 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) ) )
46 45 ralrimiv ⊢ ( ∀ 𝑝 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) → ∀ 𝑐 ∈ Cℋ ( 𝐴 ⊆ 𝑐 → ( 𝑐 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) )
47 dmdbr2 ⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ↔ ∀ 𝑐 ∈ Cℋ ( 𝐴 ⊆ 𝑐 → ( 𝑐 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) ) )
48 2 1 47 mp2an ⊢ ( 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 ↔ ∀ 𝑐 ∈ Cℋ ( 𝐴 ⊆ 𝑐 → ( 𝑐 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐴 ) ) ⊆ ( ( 𝑐 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐴 ) ) )
49 46 48 sylibr ⊢ ( ∀ 𝑝 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) → ∃ 𝑞 ∈ HAtoms ∃ 𝑟 ∈ HAtoms ( 𝑝 ⊆ ( 𝑞 ∨ℋ 𝑟 ) ∧ ( 𝑞 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ 𝐵 ) ) ) → 𝐵 𝑀ℋ* 𝐴 )