Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
metequiv.3 |
⊢ 𝐽 = ( MetOpen ‘ 𝐶 ) |
2 |
|
metequiv.4 |
⊢ 𝐾 = ( MetOpen ‘ 𝐷 ) |
3 |
|
metss2.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ) |
4 |
|
metss2.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ) |
5 |
|
metss2.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+ ) |
6 |
|
metss2.4 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑥 𝐶 𝑦 ) ≤ ( 𝑅 · ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ) ) |
7 |
4
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ) |
8 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 ) |
9 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → 𝑦 ∈ 𝑋 ) |
10 |
|
metcl |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
11 |
7 8 9 10
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
12 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → 𝑆 ∈ ℝ+ ) |
13 |
12
|
rpred |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → 𝑆 ∈ ℝ ) |
14 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → 𝑅 ∈ ℝ+ ) |
15 |
11 13 14
|
ltmuldiv2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑅 · ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ) < 𝑆 ↔ ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) < ( 𝑆 / 𝑅 ) ) ) |
16 |
6
|
anassrs |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑥 𝐶 𝑦 ) ≤ ( 𝑅 · ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ) ) |
17 |
16
|
adantlrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑥 𝐶 𝑦 ) ≤ ( 𝑅 · ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ) ) |
18 |
3
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → 𝐶 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ) |
19 |
|
metcl |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑥 𝐶 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
20 |
18 8 9 19
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑥 𝐶 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
21 |
14
|
rpred |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → 𝑅 ∈ ℝ ) |
22 |
21 11
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑅 · ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ) ∈ ℝ ) |
23 |
|
lelttr |
⊢ ( ( ( 𝑥 𝐶 𝑦 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑅 · ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑥 𝐶 𝑦 ) ≤ ( 𝑅 · ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ) ∧ ( 𝑅 · ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ) < 𝑆 ) → ( 𝑥 𝐶 𝑦 ) < 𝑆 ) ) |
24 |
20 22 13 23
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝑥 𝐶 𝑦 ) ≤ ( 𝑅 · ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ) ∧ ( 𝑅 · ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ) < 𝑆 ) → ( 𝑥 𝐶 𝑦 ) < 𝑆 ) ) |
25 |
17 24
|
mpand |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑅 · ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ) < 𝑆 → ( 𝑥 𝐶 𝑦 ) < 𝑆 ) ) |
26 |
15 25
|
sylbird |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) < ( 𝑆 / 𝑅 ) → ( 𝑥 𝐶 𝑦 ) < 𝑆 ) ) |
27 |
26
|
ss2rabdv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) → { 𝑦 ∈ 𝑋 ∣ ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) < ( 𝑆 / 𝑅 ) } ⊆ { 𝑦 ∈ 𝑋 ∣ ( 𝑥 𝐶 𝑦 ) < 𝑆 } ) |
28 |
|
metxmet |
⊢ ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) → 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ) |
29 |
4 28
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ) |
30 |
29
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) → 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ) |
31 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 ) |
32 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) → 𝑆 ∈ ℝ+ ) |
33 |
|
rpdivcl |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑆 / 𝑅 ) ∈ ℝ+ ) |
34 |
32 5 33
|
syl2anr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑆 / 𝑅 ) ∈ ℝ+ ) |
35 |
34
|
rpxrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑆 / 𝑅 ) ∈ ℝ* ) |
36 |
|
blval |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑆 / 𝑅 ) ∈ ℝ* ) → ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐷 ) ( 𝑆 / 𝑅 ) ) = { 𝑦 ∈ 𝑋 ∣ ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) < ( 𝑆 / 𝑅 ) } ) |
37 |
30 31 35 36
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐷 ) ( 𝑆 / 𝑅 ) ) = { 𝑦 ∈ 𝑋 ∣ ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) < ( 𝑆 / 𝑅 ) } ) |
38 |
|
metxmet |
⊢ ( 𝐶 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) → 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ) |
39 |
3 38
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ) |
40 |
39
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) → 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ) |
41 |
|
rpxr |
⊢ ( 𝑆 ∈ ℝ+ → 𝑆 ∈ ℝ* ) |
42 |
41
|
ad2antll |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) → 𝑆 ∈ ℝ* ) |
43 |
|
blval |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ) → ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) 𝑆 ) = { 𝑦 ∈ 𝑋 ∣ ( 𝑥 𝐶 𝑦 ) < 𝑆 } ) |
44 |
40 31 42 43
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) 𝑆 ) = { 𝑦 ∈ 𝑋 ∣ ( 𝑥 𝐶 𝑦 ) < 𝑆 } ) |
45 |
27 37 44
|
3sstr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐷 ) ( 𝑆 / 𝑅 ) ) ⊆ ( 𝑥 ( ball ‘ 𝐶 ) 𝑆 ) ) |