Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
oddz |
โข ( ๐ด โ Odd โ ๐ด โ โค ) |
2 |
|
evenz |
โข ( ๐ต โ Even โ ๐ต โ โค ) |
3 |
|
zaddcl |
โข ( ( ๐ด โ โค โง ๐ต โ โค ) โ ( ๐ด + ๐ต ) โ โค ) |
4 |
1 2 3
|
syl2an |
โข ( ( ๐ด โ Odd โง ๐ต โ Even ) โ ( ๐ด + ๐ต ) โ โค ) |
5 |
|
eqeq1 |
โข ( ๐ = ๐ด โ ( ๐ = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) โ ๐ด = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) ) |
6 |
5
|
rexbidv |
โข ( ๐ = ๐ด โ ( โ ๐ โ โค ๐ = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) โ โ ๐ โ โค ๐ด = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) ) |
7 |
|
dfodd6 |
โข Odd = { ๐ โ โค โฃ โ ๐ โ โค ๐ = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) } |
8 |
6 7
|
elrab2 |
โข ( ๐ด โ Odd โ ( ๐ด โ โค โง โ ๐ โ โค ๐ด = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) ) |
9 |
|
eqeq1 |
โข ( ๐ = ๐ต โ ( ๐ = ( 2 ยท ๐ ) โ ๐ต = ( 2 ยท ๐ ) ) ) |
10 |
9
|
rexbidv |
โข ( ๐ = ๐ต โ ( โ ๐ โ โค ๐ = ( 2 ยท ๐ ) โ โ ๐ โ โค ๐ต = ( 2 ยท ๐ ) ) ) |
11 |
|
dfeven4 |
โข Even = { ๐ โ โค โฃ โ ๐ โ โค ๐ = ( 2 ยท ๐ ) } |
12 |
10 11
|
elrab2 |
โข ( ๐ต โ Even โ ( ๐ต โ โค โง โ ๐ โ โค ๐ต = ( 2 ยท ๐ ) ) ) |
13 |
|
zaddcl |
โข ( ( ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ ( ๐ + ๐ ) โ โค ) |
14 |
13
|
ex |
โข ( ๐ โ โค โ ( ๐ โ โค โ ( ๐ + ๐ ) โ โค ) ) |
15 |
14
|
ad3antlr |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โค โง ๐ โ โค ) โง ๐ด = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) โง ๐ต โ โค ) โ ( ๐ โ โค โ ( ๐ + ๐ ) โ โค ) ) |
16 |
15
|
imp |
โข ( ( ( ( ( ๐ด โ โค โง ๐ โ โค ) โง ๐ด = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) โง ๐ต โ โค ) โง ๐ โ โค ) โ ( ๐ + ๐ ) โ โค ) |
17 |
16
|
adantr |
โข ( ( ( ( ( ( ๐ด โ โค โง ๐ โ โค ) โง ๐ด = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) โง ๐ต โ โค ) โง ๐ โ โค ) โง ๐ต = ( 2 ยท ๐ ) ) โ ( ๐ + ๐ ) โ โค ) |
18 |
|
oveq2 |
โข ( ๐ = ( ๐ + ๐ ) โ ( 2 ยท ๐ ) = ( 2 ยท ( ๐ + ๐ ) ) ) |
19 |
18
|
oveq1d |
โข ( ๐ = ( ๐ + ๐ ) โ ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) = ( ( 2 ยท ( ๐ + ๐ ) ) + 1 ) ) |
20 |
19
|
eqeq2d |
โข ( ๐ = ( ๐ + ๐ ) โ ( ( ๐ด + ๐ต ) = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) โ ( ๐ด + ๐ต ) = ( ( 2 ยท ( ๐ + ๐ ) ) + 1 ) ) ) |
21 |
20
|
adantl |
โข ( ( ( ( ( ( ( ๐ด โ โค โง ๐ โ โค ) โง ๐ด = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) โง ๐ต โ โค ) โง ๐ โ โค ) โง ๐ต = ( 2 ยท ๐ ) ) โง ๐ = ( ๐ + ๐ ) ) โ ( ( ๐ด + ๐ต ) = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) โ ( ๐ด + ๐ต ) = ( ( 2 ยท ( ๐ + ๐ ) ) + 1 ) ) ) |
22 |
|
oveq12 |
โข ( ( ๐ด = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) โง ๐ต = ( 2 ยท ๐ ) ) โ ( ๐ด + ๐ต ) = ( ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) + ( 2 ยท ๐ ) ) ) |
23 |
22
|
ex |
โข ( ๐ด = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) โ ( ๐ต = ( 2 ยท ๐ ) โ ( ๐ด + ๐ต ) = ( ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) + ( 2 ยท ๐ ) ) ) ) |
24 |
23
|
ad3antlr |
โข ( ( ( ( ( ๐ด โ โค โง ๐ โ โค ) โง ๐ด = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) โง ๐ต โ โค ) โง ๐ โ โค ) โ ( ๐ต = ( 2 ยท ๐ ) โ ( ๐ด + ๐ต ) = ( ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) + ( 2 ยท ๐ ) ) ) ) |
25 |
24
|
imp |
โข ( ( ( ( ( ( ๐ด โ โค โง ๐ โ โค ) โง ๐ด = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) โง ๐ต โ โค ) โง ๐ โ โค ) โง ๐ต = ( 2 ยท ๐ ) ) โ ( ๐ด + ๐ต ) = ( ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) + ( 2 ยท ๐ ) ) ) |
26 |
|
2cnd |
โข ( ( ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ 2 โ โ ) |
27 |
|
zcn |
โข ( ๐ โ โค โ ๐ โ โ ) |
28 |
27
|
adantl |
โข ( ( ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ ๐ โ โ ) |
29 |
26 28
|
mulcld |
โข ( ( ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ ( 2 ยท ๐ ) โ โ ) |
30 |
29
|
ancoms |
โข ( ( ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ ( 2 ยท ๐ ) โ โ ) |
31 |
|
1cnd |
โข ( ( ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ 1 โ โ ) |
32 |
|
2cnd |
โข ( ๐ โ โค โ 2 โ โ ) |
33 |
|
zcn |
โข ( ๐ โ โค โ ๐ โ โ ) |
34 |
|
mulcl |
โข ( ( 2 โ โ โง ๐ โ โ ) โ ( 2 ยท ๐ ) โ โ ) |
35 |
32 33 34
|
syl2an |
โข ( ( ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ ( 2 ยท ๐ ) โ โ ) |
36 |
30 31 35
|
add32d |
โข ( ( ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ ( ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) + ( 2 ยท ๐ ) ) = ( ( ( 2 ยท ๐ ) + ( 2 ยท ๐ ) ) + 1 ) ) |
37 |
|
2cnd |
โข ( ( ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ 2 โ โ ) |
38 |
27
|
adantr |
โข ( ( ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ ๐ โ โ ) |
39 |
33
|
adantl |
โข ( ( ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ ๐ โ โ ) |
40 |
37 38 39
|
adddid |
โข ( ( ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ ( 2 ยท ( ๐ + ๐ ) ) = ( ( 2 ยท ๐ ) + ( 2 ยท ๐ ) ) ) |
41 |
40
|
eqcomd |
โข ( ( ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ ( ( 2 ยท ๐ ) + ( 2 ยท ๐ ) ) = ( 2 ยท ( ๐ + ๐ ) ) ) |
42 |
41
|
oveq1d |
โข ( ( ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ ( ( ( 2 ยท ๐ ) + ( 2 ยท ๐ ) ) + 1 ) = ( ( 2 ยท ( ๐ + ๐ ) ) + 1 ) ) |
43 |
36 42
|
eqtrd |
โข ( ( ๐ โ โค โง ๐ โ โค ) โ ( ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) + ( 2 ยท ๐ ) ) = ( ( 2 ยท ( ๐ + ๐ ) ) + 1 ) ) |
44 |
43
|
ex |
โข ( ๐ โ โค โ ( ๐ โ โค โ ( ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) + ( 2 ยท ๐ ) ) = ( ( 2 ยท ( ๐ + ๐ ) ) + 1 ) ) ) |
45 |
44
|
ad3antlr |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โค โง ๐ โ โค ) โง ๐ด = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) โง ๐ต โ โค ) โ ( ๐ โ โค โ ( ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) + ( 2 ยท ๐ ) ) = ( ( 2 ยท ( ๐ + ๐ ) ) + 1 ) ) ) |
46 |
45
|
imp |
โข ( ( ( ( ( ๐ด โ โค โง ๐ โ โค ) โง ๐ด = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) โง ๐ต โ โค ) โง ๐ โ โค ) โ ( ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) + ( 2 ยท ๐ ) ) = ( ( 2 ยท ( ๐ + ๐ ) ) + 1 ) ) |
47 |
46
|
adantr |
โข ( ( ( ( ( ( ๐ด โ โค โง ๐ โ โค ) โง ๐ด = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) โง ๐ต โ โค ) โง ๐ โ โค ) โง ๐ต = ( 2 ยท ๐ ) ) โ ( ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) + ( 2 ยท ๐ ) ) = ( ( 2 ยท ( ๐ + ๐ ) ) + 1 ) ) |
48 |
25 47
|
eqtrd |
โข ( ( ( ( ( ( ๐ด โ โค โง ๐ โ โค ) โง ๐ด = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) โง ๐ต โ โค ) โง ๐ โ โค ) โง ๐ต = ( 2 ยท ๐ ) ) โ ( ๐ด + ๐ต ) = ( ( 2 ยท ( ๐ + ๐ ) ) + 1 ) ) |
49 |
17 21 48
|
rspcedvd |
โข ( ( ( ( ( ( ๐ด โ โค โง ๐ โ โค ) โง ๐ด = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) โง ๐ต โ โค ) โง ๐ โ โค ) โง ๐ต = ( 2 ยท ๐ ) ) โ โ ๐ โ โค ( ๐ด + ๐ต ) = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) |
50 |
49
|
rexlimdva2 |
โข ( ( ( ( ๐ด โ โค โง ๐ โ โค ) โง ๐ด = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) โง ๐ต โ โค ) โ ( โ ๐ โ โค ๐ต = ( 2 ยท ๐ ) โ โ ๐ โ โค ( ๐ด + ๐ต ) = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) ) |
51 |
50
|
expimpd |
โข ( ( ( ๐ด โ โค โง ๐ โ โค ) โง ๐ด = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) โ ( ( ๐ต โ โค โง โ ๐ โ โค ๐ต = ( 2 ยท ๐ ) ) โ โ ๐ โ โค ( ๐ด + ๐ต ) = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) ) |
52 |
51
|
r19.29an |
โข ( ( ๐ด โ โค โง โ ๐ โ โค ๐ด = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) โ ( ( ๐ต โ โค โง โ ๐ โ โค ๐ต = ( 2 ยท ๐ ) ) โ โ ๐ โ โค ( ๐ด + ๐ต ) = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) ) |
53 |
12 52
|
syl5bi |
โข ( ( ๐ด โ โค โง โ ๐ โ โค ๐ด = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) โ ( ๐ต โ Even โ โ ๐ โ โค ( ๐ด + ๐ต ) = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) ) |
54 |
8 53
|
sylbi |
โข ( ๐ด โ Odd โ ( ๐ต โ Even โ โ ๐ โ โค ( ๐ด + ๐ต ) = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) ) |
55 |
54
|
imp |
โข ( ( ๐ด โ Odd โง ๐ต โ Even ) โ โ ๐ โ โค ( ๐ด + ๐ต ) = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) |
56 |
|
eqeq1 |
โข ( ๐ง = ( ๐ด + ๐ต ) โ ( ๐ง = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) โ ( ๐ด + ๐ต ) = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) ) |
57 |
56
|
rexbidv |
โข ( ๐ง = ( ๐ด + ๐ต ) โ ( โ ๐ โ โค ๐ง = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) โ โ ๐ โ โค ( ๐ด + ๐ต ) = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) ) |
58 |
|
dfodd6 |
โข Odd = { ๐ง โ โค โฃ โ ๐ โ โค ๐ง = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) } |
59 |
57 58
|
elrab2 |
โข ( ( ๐ด + ๐ต ) โ Odd โ ( ( ๐ด + ๐ต ) โ โค โง โ ๐ โ โค ( ๐ด + ๐ต ) = ( ( 2 ยท ๐ ) + 1 ) ) ) |
60 |
4 55 59
|
sylanbrc |
โข ( ( ๐ด โ Odd โง ๐ต โ Even ) โ ( ๐ด + ๐ต ) โ Odd ) |