Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
inex1g |
⊢ ( 𝑅 ∈ PosetRel → ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∈ V ) |
2 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∈ V ) |
3 |
|
eqid |
⊢ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) = dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) |
4 |
|
eqid |
⊢ ran ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 } ) = ran ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 } ) |
5 |
|
eqid |
⊢ ran ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 } ) = ran ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 } ) |
6 |
3 4 5
|
ordtval |
⊢ ( ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∈ V → ( ordTop ‘ ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ) = ( topGen ‘ ( fi ‘ ( { dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) } ∪ ( ran ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 } ) ∪ ran ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 } ) ) ) ) ) ) |
7 |
2 6
|
syl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → ( ordTop ‘ ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ) = ( topGen ‘ ( fi ‘ ( { dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) } ∪ ( ran ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 } ) ∪ ran ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 } ) ) ) ) ) ) |
8 |
|
ordttop |
⊢ ( 𝑅 ∈ PosetRel → ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∈ Top ) |
9 |
|
resttop |
⊢ ( ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ∈ Top ) |
10 |
8 9
|
sylan |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ∈ Top ) |
11 |
|
eqid |
⊢ dom 𝑅 = dom 𝑅 |
12 |
11
|
psssdm2 |
⊢ ( 𝑅 ∈ PosetRel → dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) = ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) |
13 |
12
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) = ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) |
14 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∈ Top ) |
15 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → 𝐴 ∈ 𝑉 ) |
16 |
11
|
ordttopon |
⊢ ( 𝑅 ∈ PosetRel → ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∈ ( TopOn ‘ dom 𝑅 ) ) |
17 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∈ ( TopOn ‘ dom 𝑅 ) ) |
18 |
|
toponmax |
⊢ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∈ ( TopOn ‘ dom 𝑅 ) → dom 𝑅 ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) ) |
19 |
17 18
|
syl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → dom 𝑅 ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) ) |
20 |
|
elrestr |
⊢ ( ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ dom 𝑅 ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) ) → ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ∈ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ) |
21 |
14 15 19 20
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ∈ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ) |
22 |
13 21
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∈ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ) |
23 |
22
|
snssd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → { dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) } ⊆ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ) |
24 |
13
|
rabeqdv |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 } = { 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ∣ ¬ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 } ) |
25 |
13 24
|
mpteq12dv |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 } ) = ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ↦ { 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ∣ ¬ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 } ) ) |
26 |
25
|
rneqd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → ran ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 } ) = ran ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ↦ { 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ∣ ¬ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 } ) ) |
27 |
|
inrab2 |
⊢ ( { 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 } ∩ 𝐴 ) = { 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ∣ ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 } |
28 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) → 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) |
29 |
28
|
elin2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) → 𝑦 ∈ 𝐴 ) |
30 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) → 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) |
31 |
30
|
elin2d |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) |
32 |
31
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) |
33 |
|
brinxp |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑦 𝑅 𝑥 ↔ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 ) ) |
34 |
29 32 33
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) → ( 𝑦 𝑅 𝑥 ↔ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 ) ) |
35 |
34
|
notbid |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) → ( ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ↔ ¬ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 ) ) |
36 |
35
|
rabbidva |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) → { 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ∣ ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 } = { 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ∣ ¬ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 } ) |
37 |
27 36
|
eqtrid |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) → ( { 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 } ∩ 𝐴 ) = { 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ∣ ¬ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 } ) |
38 |
14
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) → ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∈ Top ) |
39 |
15
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑉 ) |
40 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → 𝑅 ∈ PosetRel ) |
41 |
|
elinel1 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) → 𝑥 ∈ dom 𝑅 ) |
42 |
11
|
ordtopn1 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ) → { 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 } ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) ) |
43 |
40 41 42
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) → { 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 } ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) ) |
44 |
|
elrestr |
⊢ ( ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ { 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 } ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) ) → ( { 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 } ∩ 𝐴 ) ∈ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ) |
45 |
38 39 43 44
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) → ( { 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 } ∩ 𝐴 ) ∈ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ) |
46 |
37 45
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) → { 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ∣ ¬ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 } ∈ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ) |
47 |
46
|
fmpttd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ↦ { 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ∣ ¬ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 } ) : ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ⟶ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ) |
48 |
47
|
frnd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → ran ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ↦ { 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ∣ ¬ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 } ) ⊆ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ) |
49 |
26 48
|
eqsstrd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → ran ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 } ) ⊆ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ) |
50 |
13
|
rabeqdv |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 } = { 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ∣ ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 } ) |
51 |
13 50
|
mpteq12dv |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 } ) = ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ↦ { 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ∣ ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 } ) ) |
52 |
51
|
rneqd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → ran ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 } ) = ran ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ↦ { 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ∣ ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 } ) ) |
53 |
|
inrab2 |
⊢ ( { 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 } ∩ 𝐴 ) = { 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ∣ ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 } |
54 |
|
brinxp |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 ) ) |
55 |
32 29 54
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) → ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 ) ) |
56 |
55
|
notbid |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) → ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 ) ) |
57 |
56
|
rabbidva |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) → { 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ∣ ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 } = { 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ∣ ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 } ) |
58 |
53 57
|
eqtrid |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) → ( { 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 } ∩ 𝐴 ) = { 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ∣ ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 } ) |
59 |
11
|
ordtopn2 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ) → { 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 } ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) ) |
60 |
40 41 59
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) → { 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 } ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) ) |
61 |
|
elrestr |
⊢ ( ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ { 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 } ∈ ( ordTop ‘ 𝑅 ) ) → ( { 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 } ∩ 𝐴 ) ∈ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ) |
62 |
38 39 60 61
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) → ( { 𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ ¬ 𝑥 𝑅 𝑦 } ∩ 𝐴 ) ∈ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ) |
63 |
58 62
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ) → { 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ∣ ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 } ∈ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ) |
64 |
63
|
fmpttd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ↦ { 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ∣ ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 } ) : ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ⟶ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ) |
65 |
64
|
frnd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → ran ( 𝑥 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ↦ { 𝑦 ∈ ( dom 𝑅 ∩ 𝐴 ) ∣ ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 } ) ⊆ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ) |
66 |
52 65
|
eqsstrd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → ran ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 } ) ⊆ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ) |
67 |
49 66
|
unssd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → ( ran ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 } ) ∪ ran ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 } ) ) ⊆ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ) |
68 |
23 67
|
unssd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → ( { dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) } ∪ ( ran ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 } ) ∪ ran ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 } ) ) ) ⊆ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ) |
69 |
|
tgfiss |
⊢ ( ( ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ∈ Top ∧ ( { dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) } ∪ ( ran ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 } ) ∪ ran ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 } ) ) ) ⊆ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ) → ( topGen ‘ ( fi ‘ ( { dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) } ∪ ( ran ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 } ) ∪ ran ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 } ) ) ) ) ) ⊆ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ) |
70 |
10 68 69
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → ( topGen ‘ ( fi ‘ ( { dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) } ∪ ( ran ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 } ) ∪ ran ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ↦ { 𝑦 ∈ dom ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ∣ ¬ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 } ) ) ) ) ) ⊆ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ) |
71 |
7 70
|
eqsstrd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → ( ordTop ‘ ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) ) ⊆ ( ( ordTop ‘ 𝑅 ) ↾t 𝐴 ) ) |