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Theorem perfect

Description: The Euclid-Euler theorem, or Perfect Number theorem. A positive even integer N is a perfect number (that is, its divisor sum is 2 N ) if and only if it is of the form 2 ^ ( p - 1 ) x. ( 2 ^ p - 1 ) , where 2 ^ p - 1 is prime (a Mersenne prime). (It follows from this that p is also prime.) This is Metamath 100 proof #70. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016)

Ref Expression
Assertion perfect ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) → ( ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ ℤ ( ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simplr ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → 2 ∥ 𝑁 )
2 2prm 2 ∈ ℙ
3 simpll ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ )
4 pcelnn ( ( 2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( ( 2 pCnt 𝑁 ) ∈ ℕ ↔ 2 ∥ 𝑁 ) )
5 2 3 4 sylancr ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( ( 2 pCnt 𝑁 ) ∈ ℕ ↔ 2 ∥ 𝑁 ) )
6 1 5 mpbird ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 2 pCnt 𝑁 ) ∈ ℕ )
7 6 nnzd ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 2 pCnt 𝑁 ) ∈ ℤ )
8 7 peano2zd ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ∈ ℤ )
9 pcdvds ( ( 2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ∥ 𝑁 )
10 2 3 9 sylancr ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ∥ 𝑁 )
11 2nn 2 ∈ ℕ
12 6 nnnn0d ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 2 pCnt 𝑁 ) ∈ ℕ0 )
13 nnexpcl ( ( 2 ∈ ℕ ∧ ( 2 pCnt 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) → ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ∈ ℕ )
14 11 12 13 sylancr ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ∈ ℕ )
15 nndivdvds ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ∈ ℕ ) → ( ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ∥ 𝑁 ↔ ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ∈ ℕ ) )
16 3 14 15 syl2anc ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ∥ 𝑁 ↔ ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ∈ ℕ ) )
17 10 16 mpbid ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ∈ ℕ )
18 pcndvds2 ( ( 2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ¬ 2 ∥ ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) )
19 2 3 18 sylancr ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ¬ 2 ∥ ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) )
20 simpr ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) )
21 nncn ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ )
22 21 ad2antrr ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℂ )
23 14 nncnd ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ∈ ℂ )
24 14 nnne0d ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ≠ 0 )
25 22 23 24 divcan2d ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) · ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ) = 𝑁 )
26 25 oveq2d ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 1 σ ( ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) · ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ) ) = ( 1 σ 𝑁 ) )
27 25 oveq2d ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 2 · ( ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) · ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ) ) = ( 2 · 𝑁 ) )
28 20 26 27 3eqtr4d ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 1 σ ( ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) · ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ) ) = ( 2 · ( ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) · ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ) ) )
29 6 17 19 28 perfectlem2 ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ∈ ℙ ∧ ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) = ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ) )
30 29 simprd ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) = ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) )
31 29 simpld ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ∈ ℙ )
32 30 31 eqeltrrd ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ∈ ℙ )
33 6 nncnd ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 2 pCnt 𝑁 ) ∈ ℂ )
34 ax-1cn 1 ∈ ℂ
35 pncan ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) = ( 2 pCnt 𝑁 ) )
36 33 34 35 sylancl ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) = ( 2 pCnt 𝑁 ) )
37 36 eqcomd ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 2 pCnt 𝑁 ) = ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) )
38 37 oveq2d ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) = ( 2 ↑ ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) ) )
39 38 30 oveq12d ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) · ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ) = ( ( 2 ↑ ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ) )
40 25 39 eqtr3d ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ) )
41 oveq2 ( 𝑝 = ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) → ( 2 ↑ 𝑝 ) = ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) )
42 41 oveq1d ( 𝑝 = ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) → ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) = ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) )
43 42 eleq1d ( 𝑝 = ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) → ( ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ↔ ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ∈ ℙ ) )
44 oveq1 ( 𝑝 = ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) → ( 𝑝 − 1 ) = ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) )
45 44 oveq2d ( 𝑝 = ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) → ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) = ( 2 ↑ ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) ) )
46 45 42 oveq12d ( 𝑝 = ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) → ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) = ( ( 2 ↑ ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ) )
47 46 eqeq2d ( 𝑝 = ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) → ( 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ↔ 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ) ) )
48 43 47 anbi12d ( 𝑝 = ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) → ( ( ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) ↔ ( ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ) ) ) )
49 48 rspcev ( ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ∈ ℤ ∧ ( ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑝 ∈ ℤ ( ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) )
50 8 32 40 49 syl12anc ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ ℤ ( ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) )
51 50 ex ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) → ( ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) → ∃ 𝑝 ∈ ℤ ( ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) ) )
52 perfect1 ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( 1 σ ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) = ( ( 2 ↑ 𝑝 ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) )
53 2cn 2 ∈ ℂ
54 mersenne ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → 𝑝 ∈ ℙ )
55 prmnn ( 𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ )
56 54 55 syl ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → 𝑝 ∈ ℕ )
57 expm1t ( ( 2 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ) → ( 2 ↑ 𝑝 ) = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · 2 ) )
58 53 56 57 sylancr ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( 2 ↑ 𝑝 ) = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · 2 ) )
59 nnm1nn0 ( 𝑝 ∈ ℕ → ( 𝑝 − 1 ) ∈ ℕ0 )
60 56 59 syl ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( 𝑝 − 1 ) ∈ ℕ0 )
61 expcl ( ( 2 ∈ ℂ ∧ ( 𝑝 − 1 ) ∈ ℕ0 ) → ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) ∈ ℂ )
62 53 60 61 sylancr ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) ∈ ℂ )
63 mulcom ( ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ) → ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · 2 ) = ( 2 · ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) ) )
64 62 53 63 sylancl ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · 2 ) = ( 2 · ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) ) )
65 58 64 eqtrd ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( 2 ↑ 𝑝 ) = ( 2 · ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) ) )
66 65 oveq1d ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( ( 2 ↑ 𝑝 ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) = ( ( 2 · ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) )
67 2cnd ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → 2 ∈ ℂ )
68 prmnn ( ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ → ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℕ )
69 68 adantl ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℕ )
70 69 nncnd ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℂ )
71 67 62 70 mulassd ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( ( 2 · ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) = ( 2 · ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) )
72 52 66 71 3eqtrd ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( 1 σ ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) = ( 2 · ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) )
73 oveq2 ( 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) → ( 1 σ 𝑁 ) = ( 1 σ ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) )
74 oveq2 ( 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) → ( 2 · 𝑁 ) = ( 2 · ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) )
75 73 74 eqeq12d ( 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) → ( ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ↔ ( 1 σ ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) = ( 2 · ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) ) )
76 72 75 syl5ibrcom ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) → ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) )
77 76 impr ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) ) → ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) )
78 77 rexlimiva ( ∃ 𝑝 ∈ ℤ ( ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) → ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) )
79 51 78 impbid1 ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) → ( ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ ℤ ( ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) ) )