Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → 2 ∥ 𝑁 ) |
2 |
|
2prm |
⊢ 2 ∈ ℙ |
3 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
4 |
|
pcelnn |
⊢ ( ( 2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( ( 2 pCnt 𝑁 ) ∈ ℕ ↔ 2 ∥ 𝑁 ) ) |
5 |
2 3 4
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( ( 2 pCnt 𝑁 ) ∈ ℕ ↔ 2 ∥ 𝑁 ) ) |
6 |
1 5
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 2 pCnt 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
7 |
6
|
nnzd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 2 pCnt 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
8 |
7
|
peano2zd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ∈ ℤ ) |
9 |
|
pcdvds |
⊢ ( ( 2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ∥ 𝑁 ) |
10 |
2 3 9
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ∥ 𝑁 ) |
11 |
|
2nn |
⊢ 2 ∈ ℕ |
12 |
6
|
nnnn0d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 2 pCnt 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
13 |
|
nnexpcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℕ ∧ ( 2 pCnt 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) → ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ∈ ℕ ) |
14 |
11 12 13
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ∈ ℕ ) |
15 |
|
nndivdvds |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ∈ ℕ ) → ( ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ∥ 𝑁 ↔ ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ∈ ℕ ) ) |
16 |
3 14 15
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ∥ 𝑁 ↔ ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ∈ ℕ ) ) |
17 |
10 16
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ∈ ℕ ) |
18 |
|
pcndvds2 |
⊢ ( ( 2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ¬ 2 ∥ ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ) |
19 |
2 3 18
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ¬ 2 ∥ ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ) |
20 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) |
21 |
|
nncn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
22 |
21
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
23 |
14
|
nncnd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
24 |
14
|
nnne0d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ≠ 0 ) |
25 |
22 23 24
|
divcan2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) · ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ) = 𝑁 ) |
26 |
25
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 1 σ ( ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) · ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ) ) = ( 1 σ 𝑁 ) ) |
27 |
25
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 2 · ( ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) · ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ) ) = ( 2 · 𝑁 ) ) |
28 |
20 26 27
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 1 σ ( ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) · ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ) ) = ( 2 · ( ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) · ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ) ) ) |
29 |
6 17 19 28
|
perfectlem2 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ∈ ℙ ∧ ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) = ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ) ) |
30 |
29
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) = ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ) |
31 |
29
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ∈ ℙ ) |
32 |
30 31
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ∈ ℙ ) |
33 |
6
|
nncnd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 2 pCnt 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
34 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
35 |
|
pncan |
⊢ ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) = ( 2 pCnt 𝑁 ) ) |
36 |
33 34 35
|
sylancl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) = ( 2 pCnt 𝑁 ) ) |
37 |
36
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 2 pCnt 𝑁 ) = ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) ) |
38 |
37
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) = ( 2 ↑ ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) ) ) |
39 |
38 30
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ( ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) · ( 𝑁 / ( 2 ↑ ( 2 pCnt 𝑁 ) ) ) ) = ( ( 2 ↑ ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ) ) |
40 |
25 39
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ) ) |
41 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑝 = ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) → ( 2 ↑ 𝑝 ) = ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) ) |
42 |
41
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑝 = ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) → ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) = ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ) |
43 |
42
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑝 = ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) → ( ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ↔ ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ∈ ℙ ) ) |
44 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑝 = ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) → ( 𝑝 − 1 ) = ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) ) |
45 |
44
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑝 = ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) → ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) = ( 2 ↑ ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) ) ) |
46 |
45 42
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑝 = ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) → ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) = ( ( 2 ↑ ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ) ) |
47 |
46
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑝 = ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) → ( 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ↔ 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ) ) ) |
48 |
43 47
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑝 = ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) → ( ( ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) ↔ ( ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ) ) ) ) |
49 |
48
|
rspcev |
⊢ ( ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ∈ ℤ ∧ ( ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ ( ( 2 pCnt 𝑁 ) + 1 ) ) − 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑝 ∈ ℤ ( ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) ) |
50 |
8 32 40 49
|
syl12anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) ∧ ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ ℤ ( ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) ) |
51 |
50
|
ex |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) → ( ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) → ∃ 𝑝 ∈ ℤ ( ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) ) ) |
52 |
|
perfect1 |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( 1 σ ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) = ( ( 2 ↑ 𝑝 ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) |
53 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
54 |
|
mersenne |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → 𝑝 ∈ ℙ ) |
55 |
|
prmnn |
⊢ ( 𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ ) |
56 |
54 55
|
syl |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → 𝑝 ∈ ℕ ) |
57 |
|
expm1t |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ) → ( 2 ↑ 𝑝 ) = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · 2 ) ) |
58 |
53 56 57
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( 2 ↑ 𝑝 ) = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · 2 ) ) |
59 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( 𝑝 ∈ ℕ → ( 𝑝 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
60 |
56 59
|
syl |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( 𝑝 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
61 |
|
expcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ ( 𝑝 − 1 ) ∈ ℕ0 ) → ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) ∈ ℂ ) |
62 |
53 60 61
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) ∈ ℂ ) |
63 |
|
mulcom |
⊢ ( ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ) → ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · 2 ) = ( 2 · ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) ) ) |
64 |
62 53 63
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · 2 ) = ( 2 · ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) ) ) |
65 |
58 64
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( 2 ↑ 𝑝 ) = ( 2 · ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) ) ) |
66 |
65
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( ( 2 ↑ 𝑝 ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) = ( ( 2 · ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) |
67 |
|
2cnd |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → 2 ∈ ℂ ) |
68 |
|
prmnn |
⊢ ( ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ → ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℕ ) |
69 |
68
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℕ ) |
70 |
69
|
nncnd |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℂ ) |
71 |
67 62 70
|
mulassd |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( ( 2 · ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) = ( 2 · ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) ) |
72 |
52 66 71
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( 1 σ ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) = ( 2 · ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) ) |
73 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) → ( 1 σ 𝑁 ) = ( 1 σ ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) ) |
74 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) → ( 2 · 𝑁 ) = ( 2 · ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) ) |
75 |
73 74
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) → ( ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ↔ ( 1 σ ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) = ( 2 · ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) ) ) |
76 |
72 75
|
syl5ibrcom |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ) → ( 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) → ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
77 |
76
|
impr |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) ) → ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) |
78 |
77
|
rexlimiva |
⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ ℤ ( ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) → ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) |
79 |
51 78
|
impbid1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑁 ) → ( ( 1 σ 𝑁 ) = ( 2 · 𝑁 ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ ℤ ( ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ∈ ℙ ∧ 𝑁 = ( ( 2 ↑ ( 𝑝 − 1 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑝 ) − 1 ) ) ) ) ) |