Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sn-1ne2 |
⊢ 1 ≠ 2 |
2 |
|
elre0re |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ ) |
3 |
|
id |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ ) |
4 |
2 3
|
remulcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 0 · 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
5 |
|
ax-rrecex |
⊢ ( ( ( 0 · 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ ( 0 · 𝐴 ) ≠ 0 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = 1 ) |
6 |
4 5
|
sylan |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 · 𝐴 ) ≠ 0 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = 1 ) |
7 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 · 𝐴 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = 1 ) |
8 |
|
df-2 |
⊢ 2 = ( 1 + 1 ) |
9 |
8
|
oveq1i |
⊢ ( 2 · 0 ) = ( ( 1 + 1 ) · 0 ) |
10 |
|
re0m0e0 |
⊢ ( 0 −ℝ 0 ) = 0 |
11 |
10
|
eqcomi |
⊢ 0 = ( 0 −ℝ 0 ) |
12 |
11
|
oveq2i |
⊢ ( ( 1 + 1 ) · 0 ) = ( ( 1 + 1 ) · ( 0 −ℝ 0 ) ) |
13 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
14 |
13 13
|
readdcli |
⊢ ( 1 + 1 ) ∈ ℝ |
15 |
|
sn-00idlem1 |
⊢ ( ( 1 + 1 ) ∈ ℝ → ( ( 1 + 1 ) · ( 0 −ℝ 0 ) ) = ( ( 1 + 1 ) −ℝ ( 1 + 1 ) ) ) |
16 |
14 15
|
ax-mp |
⊢ ( ( 1 + 1 ) · ( 0 −ℝ 0 ) ) = ( ( 1 + 1 ) −ℝ ( 1 + 1 ) ) |
17 |
|
repnpcan |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ) → ( ( 1 + 1 ) −ℝ ( 1 + 1 ) ) = ( 1 −ℝ 1 ) ) |
18 |
13 13 13 17
|
mp3an |
⊢ ( ( 1 + 1 ) −ℝ ( 1 + 1 ) ) = ( 1 −ℝ 1 ) |
19 |
|
re1m1e0m0 |
⊢ ( 1 −ℝ 1 ) = ( 0 −ℝ 0 ) |
20 |
18 19 10
|
3eqtri |
⊢ ( ( 1 + 1 ) −ℝ ( 1 + 1 ) ) = 0 |
21 |
12 16 20
|
3eqtri |
⊢ ( ( 1 + 1 ) · 0 ) = 0 |
22 |
9 21
|
eqtr2i |
⊢ 0 = ( 2 · 0 ) |
23 |
22
|
oveq1i |
⊢ ( 0 · 𝐴 ) = ( ( 2 · 0 ) · 𝐴 ) |
24 |
23
|
oveq1i |
⊢ ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = ( ( ( 2 · 0 ) · 𝐴 ) · 𝑥 ) |
25 |
24
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 · 𝐴 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = ( ( ( 2 · 0 ) · 𝐴 ) · 𝑥 ) ) |
26 |
|
2cnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 · 𝐴 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → 2 ∈ ℂ ) |
27 |
|
0cnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 · 𝐴 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → 0 ∈ ℂ ) |
28 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 · 𝐴 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
29 |
28
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 · 𝐴 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
30 |
26 27 29
|
mulassd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 · 𝐴 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( ( 2 · 0 ) · 𝐴 ) = ( 2 · ( 0 · 𝐴 ) ) ) |
31 |
30
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 · 𝐴 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( ( ( 2 · 0 ) · 𝐴 ) · 𝑥 ) = ( ( 2 · ( 0 · 𝐴 ) ) · 𝑥 ) ) |
32 |
4
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 · 𝐴 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( 0 · 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
33 |
32
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 · 𝐴 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( 0 · 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
34 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 · 𝐴 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
35 |
34
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 · 𝐴 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
36 |
26 33 35
|
mulassd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 · 𝐴 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( ( 2 · ( 0 · 𝐴 ) ) · 𝑥 ) = ( 2 · ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) ) ) |
37 |
25 31 36
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 · 𝐴 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = ( 2 · ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) ) ) |
38 |
7
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 · 𝐴 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( 2 · ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) ) = ( 2 · 1 ) ) |
39 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
40 |
|
ax-1rid |
⊢ ( 2 ∈ ℝ → ( 2 · 1 ) = 2 ) |
41 |
39 40
|
mp1i |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 · 𝐴 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( 2 · 1 ) = 2 ) |
42 |
37 38 41
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 · 𝐴 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = 2 ) |
43 |
7 42
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 · 𝐴 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( 0 · 𝐴 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → 1 = 2 ) |
44 |
6 43
|
rexlimddv |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 0 · 𝐴 ) ≠ 0 ) → 1 = 2 ) |
45 |
44
|
ex |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( 0 · 𝐴 ) ≠ 0 → 1 = 2 ) ) |
46 |
45
|
necon1d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 1 ≠ 2 → ( 0 · 𝐴 ) = 0 ) ) |
47 |
1 46
|
mpi |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 0 · 𝐴 ) = 0 ) |