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Theorem rlimcn3

Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. Originally a subproof of rlimcn2 . (Contributed by SN, 27-Sep-2024)

Ref Expression
Hypotheses rlimcn3.1a ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ 𝑋 )
rlimcn3.1b ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ 𝑌 )
rlimcn3.1c ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) ∈ ℂ )
rlimcn3.2 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ∈ ℂ )
rlimcn3.3a ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ⇝𝑟 𝑅 )
rlimcn3.3b ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ⇝𝑟 𝑆 )
rlimcn3.4 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑟 ∈ ℝ+ ∃ 𝑠 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) )
Assertion rlimcn3 ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) ) ⇝𝑟 ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 rlimcn3.1a ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ 𝑋 )
2 rlimcn3.1b ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ 𝑌 )
3 rlimcn3.1c ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) ∈ ℂ )
4 rlimcn3.2 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ∈ ℂ )
5 rlimcn3.3a ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ⇝𝑟 𝑅 )
6 rlimcn3.3b ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ⇝𝑟 𝑆 )
7 rlimcn3.4 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑟 ∈ ℝ+ ∃ 𝑠 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) )
8 1 ralrimiva ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑋 )
9 8 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑋 )
10 simprl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ )
11 5 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ⇝𝑟 𝑅 )
12 9 10 11 rlimi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) )
13 2 ralrimiva ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝑌 )
14 13 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ 𝑌 )
15 simprr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) → 𝑠 ∈ ℝ+ )
16 6 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) → ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ⇝𝑟 𝑆 )
17 14 15 16 rlimi ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) )
18 reeanv ⊢ ( ∃ 𝑎 ∈ ℝ ∃ 𝑏 ∈ ℝ ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) ↔ ( ∃ 𝑎 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) )
19 r19.26 ⊢ ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ∧ ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) ↔ ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) )
20 anim12 ⊢ ( ( ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ∧ ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ( ( 𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧 ) → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) )
21 simplrl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝑎 ∈ ℝ )
22 simplrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝑏 ∈ ℝ )
23 eqid ⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) = ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 )
24 23 1 dmmptd ⊢ ( 𝜑 → dom ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) = 𝐴 )
25 rlimss ⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ⇝𝑟 𝑅 → dom ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ⊆ ℝ )
26 5 25 syl ⊢ ( 𝜑 → dom ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ⊆ ℝ )
27 24 26 eqsstrrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ )
28 27 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) → 𝐴 ⊆ ℝ )
29 28 sselda ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ ℝ )
30 maxle ⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 ↔ ( 𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧 ) ) )
31 21 22 29 30 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 ↔ ( 𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧 ) ) )
32 31 imbi1d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) ↔ ( ( 𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑏 ≤ 𝑧 ) → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) ) )
33 20 32 syl5ibr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ∧ ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) ) )
34 33 ralimdva ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ∧ ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) ) )
35 ifcl ⊢ ( ( 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ ) → if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ∈ ℝ )
36 35 ancoms ⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) → if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ∈ ℝ )
37 36 ad2antlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) → if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ∈ ℝ )
38 1 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ 𝑋 )
39 2 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ 𝑌 )
40 38 39 jca ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌 ) )
41 fvoveq1 ⊢ ( 𝑢 = 𝐵 → ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) )
42 41 breq1d ⊢ ( 𝑢 = 𝐵 → ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ↔ ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) )
43 42 anbi1d ⊢ ( 𝑢 = 𝐵 → ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ↔ ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) )
44 oveq1 ⊢ ( 𝑢 = 𝐵 → ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) = ( 𝐵 𝐹 𝑣 ) )
45 44 fvoveq1d ⊢ ( 𝑢 = 𝐵 → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) )
46 45 breq1d ⊢ ( 𝑢 = 𝐵 → ( ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ↔ ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) )
47 43 46 imbi12d ⊢ ( 𝑢 = 𝐵 → ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ↔ ( ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
48 fvoveq1 ⊢ ( 𝑣 = 𝐶 → ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) )
49 48 breq1d ⊢ ( 𝑣 = 𝐶 → ( ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ↔ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) )
50 49 anbi2d ⊢ ( 𝑣 = 𝐶 → ( ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ↔ ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) )
51 oveq2 ⊢ ( 𝑣 = 𝐶 → ( 𝐵 𝐹 𝑣 ) = ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) )
52 51 fvoveq1d ⊢ ( 𝑣 = 𝐶 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) )
53 52 breq1d ⊢ ( 𝑣 = 𝐶 → ( ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ↔ ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) )
54 50 53 imbi12d ⊢ ( 𝑣 = 𝐶 → ( ( ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ↔ ( ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
55 47 54 rspc2va ⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑌 ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) )
56 40 55 sylan ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) )
57 56 imim2d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) → ( ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
58 57 an32s ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
59 58 ralimdva ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
60 59 adantlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
61 breq1 ⊢ ( 𝑐 = if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) → ( 𝑐 ≤ 𝑧 ↔ if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 ) )
62 61 rspceaimv ⊢ ( ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ∈ ℝ ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) )
63 37 60 62 syl6an ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) ∧ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
64 63 ex ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) → ( ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ) )
65 64 com23 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑏 , 𝑎 ) ≤ 𝑧 → ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ( ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ) )
66 34 65 syld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ∧ ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ( ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ) )
67 19 66 syl5bir ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ) → ( ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ( ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ) )
68 67 rexlimdvva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) → ( ∃ 𝑎 ∈ ℝ ∃ 𝑏 ∈ ℝ ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ( ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ) )
69 18 68 syl5bir ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) → ( ( ∃ 𝑎 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑎 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑏 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) ) → ( ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) ) )
70 12 17 69 mp2and ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+ ) ) → ( ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
71 70 rexlimdvva ⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑟 ∈ ℝ+ ∃ 𝑠 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
72 71 imp ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑟 ∈ ℝ+ ∃ 𝑠 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ 𝑋 ∀ 𝑣 ∈ 𝑌 ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝑅 ) ) < 𝑟 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝑆 ) ) < 𝑠 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 𝐹 𝑣 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) )
73 7 72 syldan ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) )
74 73 ralrimiva ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) )
75 3 ralrimiva ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) ∈ ℂ )
76 75 27 4 rlim2 ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) ) ⇝𝑟 ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ℝ+ ∃ 𝑐 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( 𝑐 ≤ 𝑧 → ( abs ‘ ( ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) − ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) ) ) < 𝑥 ) ) )
77 74 76 mpbird ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 𝐹 𝐶 ) ) ⇝𝑟 ( 𝑅 𝐹 𝑆 ) )