Theorem ustval

Description: The class of all uniform structures for a base X . (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2017) (Revised by AV, 17-Sep-2021)

	Ref	Expression
Assertion	ustval	⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑉 → ( UnifOn ‘ 𝑋 ) = { 𝑢 ∣ ( 𝑢 ⊆ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 × 𝑋 ) ∈ 𝑢 ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑢 ( ∀ 𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ( 𝑣 ⊆ 𝑤 → 𝑤 ∈ 𝑢 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑣 ∩ 𝑤 ) ∈ 𝑢 ∧ ( ( I ↾ 𝑋 ) ⊆ 𝑣 ∧ ◡ 𝑣 ∈ 𝑢 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ⊆ 𝑣 ) ) ) } )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ust	⊢ UnifOn = ( 𝑥 ∈ V ↦ { 𝑢 ∣ ( 𝑢 ⊆ 𝒫 ( 𝑥 × 𝑥 ) ∧ ( 𝑥 × 𝑥 ) ∈ 𝑢 ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑢 ( ∀ 𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑥 × 𝑥 ) ( 𝑣 ⊆ 𝑤 → 𝑤 ∈ 𝑢 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑣 ∩ 𝑤 ) ∈ 𝑢 ∧ ( ( I ↾ 𝑥 ) ⊆ 𝑣 ∧ ◡ 𝑣 ∈ 𝑢 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ⊆ 𝑣 ) ) ) } )
2		id	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋 )
3	2	sqxpeqd	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑥 × 𝑥 ) = ( 𝑋 × 𝑋 ) )
4	3	pweqd	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝒫 ( 𝑥 × 𝑥 ) = 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) )
5	4	sseq2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑢 ⊆ 𝒫 ( 𝑥 × 𝑥 ) ↔ 𝑢 ⊆ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ) )
6	3	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( 𝑥 × 𝑥 ) ∈ 𝑢 ↔ ( 𝑋 × 𝑋 ) ∈ 𝑢 ) )
7	4	raleqdv	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ∀ 𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑥 × 𝑥 ) ( 𝑣 ⊆ 𝑤 → 𝑤 ∈ 𝑢 ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ( 𝑣 ⊆ 𝑤 → 𝑤 ∈ 𝑢 ) ) )
8		reseq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( I ↾ 𝑥 ) = ( I ↾ 𝑋 ) )
9	8	sseq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( I ↾ 𝑥 ) ⊆ 𝑣 ↔ ( I ↾ 𝑋 ) ⊆ 𝑣 ) )
10	9	3anbi1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( ( I ↾ 𝑥 ) ⊆ 𝑣 ∧ ◡ 𝑣 ∈ 𝑢 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ⊆ 𝑣 ) ↔ ( ( I ↾ 𝑋 ) ⊆ 𝑣 ∧ ◡ 𝑣 ∈ 𝑢 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ⊆ 𝑣 ) ) )
11	7 10	3anbi13d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( ∀ 𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑥 × 𝑥 ) ( 𝑣 ⊆ 𝑤 → 𝑤 ∈ 𝑢 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑣 ∩ 𝑤 ) ∈ 𝑢 ∧ ( ( I ↾ 𝑥 ) ⊆ 𝑣 ∧ ◡ 𝑣 ∈ 𝑢 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ⊆ 𝑣 ) ) ↔ ( ∀ 𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ( 𝑣 ⊆ 𝑤 → 𝑤 ∈ 𝑢 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑣 ∩ 𝑤 ) ∈ 𝑢 ∧ ( ( I ↾ 𝑋 ) ⊆ 𝑣 ∧ ◡ 𝑣 ∈ 𝑢 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ⊆ 𝑣 ) ) ) )
12	11	ralbidv	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ∀ 𝑣 ∈ 𝑢 ( ∀ 𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑥 × 𝑥 ) ( 𝑣 ⊆ 𝑤 → 𝑤 ∈ 𝑢 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑣 ∩ 𝑤 ) ∈ 𝑢 ∧ ( ( I ↾ 𝑥 ) ⊆ 𝑣 ∧ ◡ 𝑣 ∈ 𝑢 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ⊆ 𝑣 ) ) ↔ ∀ 𝑣 ∈ 𝑢 ( ∀ 𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ( 𝑣 ⊆ 𝑤 → 𝑤 ∈ 𝑢 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑣 ∩ 𝑤 ) ∈ 𝑢 ∧ ( ( I ↾ 𝑋 ) ⊆ 𝑣 ∧ ◡ 𝑣 ∈ 𝑢 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ⊆ 𝑣 ) ) ) )
13	5 6 12	3anbi123d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( 𝑢 ⊆ 𝒫 ( 𝑥 × 𝑥 ) ∧ ( 𝑥 × 𝑥 ) ∈ 𝑢 ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑢 ( ∀ 𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑥 × 𝑥 ) ( 𝑣 ⊆ 𝑤 → 𝑤 ∈ 𝑢 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑣 ∩ 𝑤 ) ∈ 𝑢 ∧ ( ( I ↾ 𝑥 ) ⊆ 𝑣 ∧ ◡ 𝑣 ∈ 𝑢 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ⊆ 𝑣 ) ) ) ↔ ( 𝑢 ⊆ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 × 𝑋 ) ∈ 𝑢 ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑢 ( ∀ 𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ( 𝑣 ⊆ 𝑤 → 𝑤 ∈ 𝑢 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑣 ∩ 𝑤 ) ∈ 𝑢 ∧ ( ( I ↾ 𝑋 ) ⊆ 𝑣 ∧ ◡ 𝑣 ∈ 𝑢 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ⊆ 𝑣 ) ) ) ) )
14	13	abbidv	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → { 𝑢 ∣ ( 𝑢 ⊆ 𝒫 ( 𝑥 × 𝑥 ) ∧ ( 𝑥 × 𝑥 ) ∈ 𝑢 ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑢 ( ∀ 𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑥 × 𝑥 ) ( 𝑣 ⊆ 𝑤 → 𝑤 ∈ 𝑢 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑣 ∩ 𝑤 ) ∈ 𝑢 ∧ ( ( I ↾ 𝑥 ) ⊆ 𝑣 ∧ ◡ 𝑣 ∈ 𝑢 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ⊆ 𝑣 ) ) ) } = { 𝑢 ∣ ( 𝑢 ⊆ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 × 𝑋 ) ∈ 𝑢 ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑢 ( ∀ 𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ( 𝑣 ⊆ 𝑤 → 𝑤 ∈ 𝑢 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑣 ∩ 𝑤 ) ∈ 𝑢 ∧ ( ( I ↾ 𝑋 ) ⊆ 𝑣 ∧ ◡ 𝑣 ∈ 𝑢 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ⊆ 𝑣 ) ) ) } )
15		elex	⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V )
16		simp1	⊢ ( ( 𝑢 ⊆ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 × 𝑋 ) ∈ 𝑢 ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑢 ( ∀ 𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ( 𝑣 ⊆ 𝑤 → 𝑤 ∈ 𝑢 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑣 ∩ 𝑤 ) ∈ 𝑢 ∧ ( ( I ↾ 𝑋 ) ⊆ 𝑣 ∧ ◡ 𝑣 ∈ 𝑢 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ⊆ 𝑣 ) ) ) → 𝑢 ⊆ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) )
17	16	ss2abi	⊢ { 𝑢 ∣ ( 𝑢 ⊆ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 × 𝑋 ) ∈ 𝑢 ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑢 ( ∀ 𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ( 𝑣 ⊆ 𝑤 → 𝑤 ∈ 𝑢 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑣 ∩ 𝑤 ) ∈ 𝑢 ∧ ( ( I ↾ 𝑋 ) ⊆ 𝑣 ∧ ◡ 𝑣 ∈ 𝑢 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ⊆ 𝑣 ) ) ) } ⊆ { 𝑢 ∣ 𝑢 ⊆ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) }
18		df-pw	⊢ 𝒫 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) = { 𝑢 ∣ 𝑢 ⊆ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) }
19	17 18	sseqtrri	⊢ { 𝑢 ∣ ( 𝑢 ⊆ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 × 𝑋 ) ∈ 𝑢 ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑢 ( ∀ 𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ( 𝑣 ⊆ 𝑤 → 𝑤 ∈ 𝑢 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑣 ∩ 𝑤 ) ∈ 𝑢 ∧ ( ( I ↾ 𝑋 ) ⊆ 𝑣 ∧ ◡ 𝑣 ∈ 𝑢 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ⊆ 𝑣 ) ) ) } ⊆ 𝒫 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 )
20		sqxpexg	⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑉 → ( 𝑋 × 𝑋 ) ∈ V )
21		pwexg	⊢ ( ( 𝑋 × 𝑋 ) ∈ V → 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ∈ V )
22		pwexg	⊢ ( 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ∈ V → 𝒫 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ∈ V )
23	20 21 22	3syl	⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ∈ V )
24		ssexg	⊢ ( ( { 𝑢 ∣ ( 𝑢 ⊆ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 × 𝑋 ) ∈ 𝑢 ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑢 ( ∀ 𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ( 𝑣 ⊆ 𝑤 → 𝑤 ∈ 𝑢 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑣 ∩ 𝑤 ) ∈ 𝑢 ∧ ( ( I ↾ 𝑋 ) ⊆ 𝑣 ∧ ◡ 𝑣 ∈ 𝑢 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ⊆ 𝑣 ) ) ) } ⊆ 𝒫 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ∧ 𝒫 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ∈ V ) → { 𝑢 ∣ ( 𝑢 ⊆ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 × 𝑋 ) ∈ 𝑢 ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑢 ( ∀ 𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ( 𝑣 ⊆ 𝑤 → 𝑤 ∈ 𝑢 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑣 ∩ 𝑤 ) ∈ 𝑢 ∧ ( ( I ↾ 𝑋 ) ⊆ 𝑣 ∧ ◡ 𝑣 ∈ 𝑢 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ⊆ 𝑣 ) ) ) } ∈ V )
25	19 23 24	sylancr	⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑉 → { 𝑢 ∣ ( 𝑢 ⊆ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 × 𝑋 ) ∈ 𝑢 ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑢 ( ∀ 𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ( 𝑣 ⊆ 𝑤 → 𝑤 ∈ 𝑢 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑣 ∩ 𝑤 ) ∈ 𝑢 ∧ ( ( I ↾ 𝑋 ) ⊆ 𝑣 ∧ ◡ 𝑣 ∈ 𝑢 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ⊆ 𝑣 ) ) ) } ∈ V )
26	1 14 15 25	fvmptd3	⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑉 → ( UnifOn ‘ 𝑋 ) = { 𝑢 ∣ ( 𝑢 ⊆ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ∧ ( 𝑋 × 𝑋 ) ∈ 𝑢 ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑢 ( ∀ 𝑤 ∈ 𝒫 ( 𝑋 × 𝑋 ) ( 𝑣 ⊆ 𝑤 → 𝑤 ∈ 𝑢 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑣 ∩ 𝑤 ) ∈ 𝑢 ∧ ( ( I ↾ 𝑋 ) ⊆ 𝑣 ∧ ◡ 𝑣 ∈ 𝑢 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑢 ( 𝑤 ∘ 𝑤 ) ⊆ 𝑣 ) ) ) } )