Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
2 |
1
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
3 |
|
peano2zm |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ) |
4 |
2 3
|
syl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ) |
5 |
4
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℂ ) |
6 |
2
|
peano2zd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℤ ) |
7 |
6
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℂ ) |
8 |
5 7
|
mulcomd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 − 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
9 |
2
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
10 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
11 |
|
subsq |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑁 ↑ 2 ) − ( 1 ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
12 |
9 10 11
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 ↑ 2 ) − ( 1 ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
13 |
9
|
sqvald |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑁 ↑ 2 ) = ( 𝑁 · 𝑁 ) ) |
14 |
|
sq1 |
⊢ ( 1 ↑ 2 ) = 1 |
15 |
14
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 1 ↑ 2 ) = 1 ) |
16 |
13 15
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 ↑ 2 ) − ( 1 ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑁 · 𝑁 ) − 1 ) ) |
17 |
8 12 16
|
3eqtr2d |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 − 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ( 𝑁 · 𝑁 ) − 1 ) ) |
18 |
17
|
breq2d |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑃 ∥ ( ( 𝑁 − 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ↔ 𝑃 ∥ ( ( 𝑁 · 𝑁 ) − 1 ) ) ) |
19 |
|
fz1ssfz0 |
⊢ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ... ( 𝑃 − 1 ) ) |
20 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) |
21 |
19 20
|
sselid |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) |
22 |
21
|
biantrurd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑃 ∥ ( ( 𝑁 · 𝑁 ) − 1 ) ↔ ( 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ∧ 𝑃 ∥ ( ( 𝑁 · 𝑁 ) − 1 ) ) ) ) |
23 |
18 22
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑃 ∥ ( ( 𝑁 − 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ↔ ( 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ∧ 𝑃 ∥ ( ( 𝑁 · 𝑁 ) − 1 ) ) ) ) |
24 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑃 ∈ ℙ ) |
25 |
|
euclemma |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑃 ∥ ( ( 𝑁 − 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ↔ ( 𝑃 ∥ ( 𝑁 − 1 ) ∨ 𝑃 ∥ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
26 |
24 4 6 25
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑃 ∥ ( ( 𝑁 − 1 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) ↔ ( 𝑃 ∥ ( 𝑁 − 1 ) ∨ 𝑃 ∥ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
27 |
|
prmnn |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ ) |
28 |
|
fzm1ndvds |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁 ) |
29 |
27 28
|
sylan |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁 ) |
30 |
|
eqid |
⊢ ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 − 2 ) ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 − 2 ) ) mod 𝑃 ) |
31 |
30
|
prmdiveq |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁 ) → ( ( 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ∧ 𝑃 ∥ ( ( 𝑁 · 𝑁 ) − 1 ) ) ↔ 𝑁 = ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 − 2 ) ) mod 𝑃 ) ) ) |
32 |
24 2 29 31
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ∧ 𝑃 ∥ ( ( 𝑁 · 𝑁 ) − 1 ) ) ↔ 𝑁 = ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 − 2 ) ) mod 𝑃 ) ) ) |
33 |
23 26 32
|
3bitr3rd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑁 = ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 − 2 ) ) mod 𝑃 ) ↔ ( 𝑃 ∥ ( 𝑁 − 1 ) ∨ 𝑃 ∥ ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |
34 |
24 27
|
syl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑃 ∈ ℕ ) |
35 |
|
1zzd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 1 ∈ ℤ ) |
36 |
|
moddvds |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 mod 𝑃 ) = ( 1 mod 𝑃 ) ↔ 𝑃 ∥ ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
37 |
34 2 35 36
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 mod 𝑃 ) = ( 1 mod 𝑃 ) ↔ 𝑃 ∥ ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
38 |
|
elfznn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
39 |
38
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
40 |
39
|
nnred |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
41 |
34
|
nnrpd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑃 ∈ ℝ+ ) |
42 |
39
|
nnnn0d |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
43 |
42
|
nn0ge0d |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 0 ≤ 𝑁 ) |
44 |
|
elfzle2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) → 𝑁 ≤ ( 𝑃 − 1 ) ) |
45 |
44
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑁 ≤ ( 𝑃 − 1 ) ) |
46 |
|
prmz |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ ) |
47 |
|
zltlem1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 < 𝑃 ↔ 𝑁 ≤ ( 𝑃 − 1 ) ) ) |
48 |
1 46 47
|
syl2anr |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑁 < 𝑃 ↔ 𝑁 ≤ ( 𝑃 − 1 ) ) ) |
49 |
45 48
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑁 < 𝑃 ) |
50 |
|
modid |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑃 ) ) → ( 𝑁 mod 𝑃 ) = 𝑁 ) |
51 |
40 41 43 49 50
|
syl22anc |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑁 mod 𝑃 ) = 𝑁 ) |
52 |
34
|
nnred |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑃 ∈ ℝ ) |
53 |
|
prmuz2 |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
54 |
24 53
|
syl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑃 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
55 |
|
eluz2gt1 |
⊢ ( 𝑃 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 1 < 𝑃 ) |
56 |
54 55
|
syl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 1 < 𝑃 ) |
57 |
|
1mod |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃 ) → ( 1 mod 𝑃 ) = 1 ) |
58 |
52 56 57
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 1 mod 𝑃 ) = 1 ) |
59 |
51 58
|
eqeq12d |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 mod 𝑃 ) = ( 1 mod 𝑃 ) ↔ 𝑁 = 1 ) ) |
60 |
37 59
|
bitr3d |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑃 ∥ ( 𝑁 − 1 ) ↔ 𝑁 = 1 ) ) |
61 |
35
|
znegcld |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → - 1 ∈ ℤ ) |
62 |
|
moddvds |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ - 1 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 mod 𝑃 ) = ( - 1 mod 𝑃 ) ↔ 𝑃 ∥ ( 𝑁 − - 1 ) ) ) |
63 |
34 2 61 62
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 mod 𝑃 ) = ( - 1 mod 𝑃 ) ↔ 𝑃 ∥ ( 𝑁 − - 1 ) ) ) |
64 |
34
|
nncnd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑃 ∈ ℂ ) |
65 |
64
|
mulid2d |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 1 · 𝑃 ) = 𝑃 ) |
66 |
65
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( - 1 + ( 1 · 𝑃 ) ) = ( - 1 + 𝑃 ) ) |
67 |
|
neg1cn |
⊢ - 1 ∈ ℂ |
68 |
|
addcom |
⊢ ( ( - 1 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ) → ( - 1 + 𝑃 ) = ( 𝑃 + - 1 ) ) |
69 |
67 64 68
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( - 1 + 𝑃 ) = ( 𝑃 + - 1 ) ) |
70 |
|
negsub |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( 𝑃 + - 1 ) = ( 𝑃 − 1 ) ) |
71 |
64 10 70
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑃 + - 1 ) = ( 𝑃 − 1 ) ) |
72 |
66 69 71
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( - 1 + ( 1 · 𝑃 ) ) = ( 𝑃 − 1 ) ) |
73 |
72
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ( - 1 + ( 1 · 𝑃 ) ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) mod 𝑃 ) ) |
74 |
|
neg1rr |
⊢ - 1 ∈ ℝ |
75 |
74
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → - 1 ∈ ℝ ) |
76 |
|
modcyc |
⊢ ( ( - 1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ ) → ( ( - 1 + ( 1 · 𝑃 ) ) mod 𝑃 ) = ( - 1 mod 𝑃 ) ) |
77 |
75 41 35 76
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ( - 1 + ( 1 · 𝑃 ) ) mod 𝑃 ) = ( - 1 mod 𝑃 ) ) |
78 |
|
peano2rem |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℝ → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℝ ) |
79 |
52 78
|
syl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℝ ) |
80 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℕ → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
81 |
34 80
|
syl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
82 |
81
|
nn0ge0d |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 0 ≤ ( 𝑃 − 1 ) ) |
83 |
52
|
ltm1d |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑃 − 1 ) < 𝑃 ) |
84 |
|
modid |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝑃 − 1 ) ∧ ( 𝑃 − 1 ) < 𝑃 ) ) → ( ( 𝑃 − 1 ) mod 𝑃 ) = ( 𝑃 − 1 ) ) |
85 |
79 41 82 83 84
|
syl22anc |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑃 − 1 ) mod 𝑃 ) = ( 𝑃 − 1 ) ) |
86 |
73 77 85
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( - 1 mod 𝑃 ) = ( 𝑃 − 1 ) ) |
87 |
51 86
|
eqeq12d |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 mod 𝑃 ) = ( - 1 mod 𝑃 ) ↔ 𝑁 = ( 𝑃 − 1 ) ) ) |
88 |
|
subneg |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( 𝑁 − - 1 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) |
89 |
9 10 88
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑁 − - 1 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) |
90 |
89
|
breq2d |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑃 ∥ ( 𝑁 − - 1 ) ↔ 𝑃 ∥ ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
91 |
63 87 90
|
3bitr3rd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑃 ∥ ( 𝑁 + 1 ) ↔ 𝑁 = ( 𝑃 − 1 ) ) ) |
92 |
60 91
|
orbi12d |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∥ ( 𝑁 − 1 ) ∨ 𝑃 ∥ ( 𝑁 + 1 ) ) ↔ ( 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = ( 𝑃 − 1 ) ) ) ) |
93 |
33 92
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑁 = ( ( 𝑁 ↑ ( 𝑃 − 2 ) ) mod 𝑃 ) ↔ ( 𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = ( 𝑃 − 1 ) ) ) ) |