Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indexfi Unicode version

Theorem indexfi 7848
 Description: If for every element of a finite indexing set there exists a corresponding element of another set , then there exists a finite subset of consisting only of those elements which are indexed by . Proven without the Axiom of Choice, unlike indexdom 30225. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
indexfi
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,

Proof of Theorem indexfi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1707 . . . . . 6
2 nfsbc1v 3347 . . . . . 6
3 sbceq1a 3338 . . . . . 6
41, 2, 3cbvrex 3081 . . . . 5
54ralbii 2888 . . . 4
6 dfsbcq 3329 . . . . 5
76ac6sfi 7784 . . . 4
85, 7sylan2b 475 . . 3
9 simpll 753 . . . . 5
10 ffn 5736 . . . . . . 7
1110ad2antrl 727 . . . . . 6
12 dffn4 5806 . . . . . 6
1311, 12sylib 196 . . . . 5
14 fofi 7826 . . . . 5
159, 13, 14syl2anc 661 . . . 4
16 frn 5742 . . . . 5
1716ad2antrl 727 . . . 4
18 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . 9
1910, 18sylan 471 . . . . . . . 8
20 rspesbca 3419 . . . . . . . . 9
2120ex 434 . . . . . . . 8
2219, 21syl 16 . . . . . . 7
2322ralimdva 2865 . . . . . 6
2423imp 429 . . . . 5
2524adantl 466 . . . 4
26 simpr 461 . . . . . . . 8
27 simprr 757 . . . . . . . . . 10
28 nfv 1707 . . . . . . . . . . 11
29 nfsbc1v 3347 . . . . . . . . . . 11
30 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
3130sbceq1d 3332 . . . . . . . . . . . 12
32 sbceq1a 3338 . . . . . . . . . . . 12
3331, 32bitrd 253 . . . . . . . . . . 11
3428, 29, 33cbvral 3080 . . . . . . . . . 10
3527, 34sylib 196 . . . . . . . . 9
3635r19.21bi 2826 . . . . . . . 8
37 rspesbca 3419 . . . . . . . 8
3826, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . 7
3938ralrimiva 2871 . . . . . 6
40 dfsbcq 3329 . . . . . . . . 9
4140rexbidv 2968 . . . . . . . 8
4241ralrn 6034 . . . . . . 7
4311, 42syl 16 . . . . . 6
4439, 43mpbird 232 . . . . 5
45 nfv 1707 . . . . . 6
46 nfcv 2619 . . . . . . 7
4746, 2nfrex 2920 . . . . . 6
483rexbidv 2968 . . . . . 6
4945, 47, 48cbvral 3080 . . . . 5
5044, 49sylibr 212 . . . 4
51 sseq1 3524 . . . . . 6
52 rexeq 3055 . . . . . . 7
5352ralbidv 2896 . . . . . 6
54 raleq 3054 . . . . . 6
5551, 53, 543anbi123d 1299 . . . . 5
5655rspcev 3210 . . . 4
5715, 17, 25, 50, 56syl13anc 1230 . . 3
588, 57exlimddv 1726 . 2
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  [.wsbc 3327  C_wss 3475  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  `cfv 5593   cfn 7536 This theorem is referenced by:  filbcmb  30231 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540