Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf0 Unicode version

Theorem inf0 8059
 Description: Our Axiom of Infinity derived from existence of omega. The proof shows that the especially contrived class " " exists, is a subset of its union, and contains a given set (and thus is nonempty). Thus, it provides an example demonstrating that a set exists with the necessary properties demanded by ax-inf 8076. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.)
Hypothesis
Ref Expression
inf0.1
Assertion
Ref Expression
inf0
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem inf0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3112 . . . 4
2 fr0g 7120 . . . 4
31, 2ax-mp 5 . . 3
4 frfnom 7119 . . . 4
5 peano1 6719 . . . 4
6 fnfvelrn 6028 . . . 4
74, 5, 6mp2an 672 . . 3
83, 7eqeltrri 2542 . 2
9 fvelrnb 5920 . . . . 5
104, 9ax-mp 5 . . . 4
11 fvex 5881 . . . . . . . . . 10
1211sucid 4962 . . . . . . . . 9
1311sucex 6646 . . . . . . . . . 10
14 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
15 suceq 4948 . . . . . . . . . . 11
16 suceq 4948 . . . . . . . . . . 11
1714, 15, 16frsucmpt2 7124 . . . . . . . . . 10
1813, 17mpan2 671 . . . . . . . . 9
1912, 18syl5eleqr 2552 . . . . . . . 8
20 eleq1 2529 . . . . . . . 8
2119, 20syl5ib 219 . . . . . . 7
22 peano2b 6716 . . . . . . . . 9
23 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . . 10
244, 23mpan 670 . . . . . . . . 9
2522, 24sylbi 195 . . . . . . . 8
2625a1i 11 . . . . . . 7
2721, 26jcad 533 . . . . . 6
28 fvex 5881 . . . . . . 7
29 eleq2 2530 . . . . . . . 8
30 eleq1 2529 . . . . . . . 8
3129, 30anbi12d 710 . . . . . . 7
3228, 31spcev 3201 . . . . . 6
3327, 32syl6com 35 . . . . 5
3433rexlimiv 2943 . . . 4
3510, 34sylbi 195 . . 3
3635ax-gen 1618 . 2
37 fndm 5685 . . . . . 6
384, 37ax-mp 5 . . . . 5
39 inf0.1 . . . . 5
4038, 39eqeltri 2541 . . . 4
41 fnfun 5683 . . . . 5
424, 41ax-mp 5 . . . 4
43 funrnex 6767 . . . 4
4440, 42, 43mp2 9 . . 3
45 eleq2 2530 . . . 4
46 eleq2 2530 . . . . . 6
47 eleq2 2530 . . . . . . . 8
4847anbi2d 703 . . . . . . 7
4948exbidv 1714 . . . . . 6
5046, 49imbi12d 320 . . . . 5
5150albidv 1713 . . . 4
5245, 51anbi12d 710 . . 3
5344, 52spcev 3201 . 2
548, 36, 53mp2an 672 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E.wrex 2808   cvv 3109   c0 3784  e.cmpt 4510  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  |cres 5006  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  cfv 5593   com 6700  reccrdg 7094 This theorem is referenced by:  axinf  8082 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095
 Copyright terms: Public domain W3C validator