Theorem infdiffi 8095

Description: Removing a finite set from an infinite set does not change the cardinality of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infdiffi

Proof of Theorem infdiffi

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difeq2 3615	. . . . . 6
2		dif0 3898	. . . . . 6
3	1, 2	syl6eq 2514	. . . . 5
4	3	breq1d 4462	. . . 4
5	4	imbi2d 316	. . 3
6		difeq2 3615	. . . . 5
7	6	breq1d 4462	. . . 4
8	7	imbi2d 316	. . 3
9		difeq2 3615	. . . . . 6
10		difun1 3757	. . . . . 6
11	9, 10	syl6eq 2514	. . . . 5
12	11	breq1d 4462	. . . 4
13	12	imbi2d 316	. . 3
14		difeq2 3615	. . . . 5
15	14	breq1d 4462	. . . 4
16	15	imbi2d 316	. . 3
17		reldom 7542	. . . . 5
18	17	brrelex2i 5046	. . . 4
19		enrefg 7567	. . . 4
20	18, 19	syl 16	. . 3
21		domen2 7680	. . . . . . . . 9
22	21	biimparc 487	. . . . . . . 8
23		infdifsn 8094	. . . . . . . 8
24	22, 23	syl 16	. . . . . . 7
25		entr 7587	. . . . . . 7
26	24, 25	sylancom 667	. . . . . 6
27	26	ex 434	. . . . 5
28	27	a2i 13	. . . 4
29	28	a1i 11	. . 3
30	5, 8, 13, 16, 20, 29	findcard2 7780	. 2
31	30	impcom 430	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  com 6700  cen 7533  cdom 7534  cfn 7536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540