Theorem infdifsn 8094

Description: Removing a singleton from an infinite set does not change the cardinality of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infdifsn

Proof of Theorem infdifsn

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 7547	. . . 4
2	1	adantr 465	. . 3
3		reldom 7542	. . . . . . 7
4	3	brrelex2i 5046	. . . . . 6
5	4	ad2antrr 725	. . . . 5
6		simplr 755	. . . . 5
7		f1f 5786	. . . . . . 7
8	7	adantl 466	. . . . . 6
9		peano1 6719	. . . . . 6
10		ffvelrn 6029	. . . . . 6
11	8, 9, 10	sylancl 662	. . . . 5
12		difsnen 7619	. . . . 5
13	5, 6, 11, 12	syl3anc 1228	. . . 4
14		vex 3112	. . . . . . . . . 10
15		f1f1orn 5832	. . . . . . . . . . 11
16	15	adantl 466	. . . . . . . . . 10
17		f1oen3g 7551	. . . . . . . . . 10
18	14, 16, 17	sylancr 663	. . . . . . . . 9
19	18	ensymd 7586	. . . . . . . 8
20	3	brrelexi 5045	. . . . . . . . . . 11
21	20	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10
22		limom 6715	. . . . . . . . . . 11
23	22	limenpsi 7712	. . . . . . . . . 10
24	21, 23	syl 16	. . . . . . . . 9
25	14	resex 5322	. . . . . . . . . . 11
26		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12
27		difss 3630	. . . . . . . . . . . 12
28		f1ores 5835	. . . . . . . . . . . 12
29	26, 27, 28	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11
30		f1oen3g 7551	. . . . . . . . . . 11
31	25, 29, 30	sylancr 663	. . . . . . . . . 10
32		f1orn 5831	. . . . . . . . . . . . 13
33	32	simprbi 464	. . . . . . . . . . . 12
34		imadif 5668	. . . . . . . . . . . 12
35	16, 33, 34	3syl 20	. . . . . . . . . . 11
36		f1fn 5787	. . . . . . . . . . . . . 14
37	36	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13
38		fnima 5704	. . . . . . . . . . . . 13
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
40		fnsnfv 5933	. . . . . . . . . . . . . 14
41	37, 9, 40	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . . 12
43	39, 42	difeq12d 3622	. . . . . . . . . . 11
44	35, 43	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10
45	31, 44	breqtrd 4476	. . . . . . . . 9
46		entr 7587	. . . . . . . . 9
47	24, 45, 46	syl2anc 661	. . . . . . . 8
48		entr 7587	. . . . . . . 8
49	19, 47, 48	syl2anc 661	. . . . . . 7
50		difexg 4600	. . . . . . . 8
51		enrefg 7567	. . . . . . . 8
52	5, 50, 51	3syl 20	. . . . . . 7
53		disjdif 3900	. . . . . . . 8
54	53	a1i 11	. . . . . . 7
55		difss 3630	. . . . . . . . . 10
56		ssrin 3722	. . . . . . . . . 10
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
58		sseq0 3817	. . . . . . . . 9
59	57, 53, 58	mp2an 672	. . . . . . . 8
60	59	a1i 11	. . . . . . 7
61		unen 7618	. . . . . . 7
62	49, 52, 54, 60, 61	syl22anc 1229	. . . . . 6
63		frn 5742	. . . . . . . 8
64	8, 63	syl 16	. . . . . . 7
65		undif 3908	. . . . . . 7
66	64, 65	sylib 196	. . . . . 6
67		uncom 3647	. . . . . . 7
68		eldifn 3626	. . . . . . . . . . 11
69		fnfvelrn 6028	. . . . . . . . . . . 12
70	37, 9, 69	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11
71	68, 70	nsyl3 119	. . . . . . . . . 10
72		disjsn 4090	. . . . . . . . . 10
73	71, 72	sylibr 212	. . . . . . . . 9
74		undif4 3883	. . . . . . . . 9
75	73, 74	syl 16	. . . . . . . 8
76		uncom 3647	. . . . . . . . . 10
77	76, 66	syl5eq 2510	. . . . . . . . 9
78	77	difeq1d 3620	. . . . . . . 8
79	75, 78	eqtrd 2498	. . . . . . 7
80	67, 79	syl5eq 2510	. . . . . 6
81	62, 66, 80	3brtr3d 4481	. . . . 5
82	81	ensymd 7586	. . . 4
83		entr 7587	. . . 4
84	13, 82, 83	syl2anc 661	. . 3
85	2, 84	exlimddv 1726	. 2
86		difsn 4164	. . . 4
87	86	adantl 466	. . 3
88		enrefg 7567	. . . . 5
89	4, 88	syl 16	. . . 4
90	89	adantr 465	. . 3
91	87, 90	eqbrtrd 4472	. 2
92	85, 91	pm2.61dan 791	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  com 6700  cen 7533  cdom 7534

This theorem is referenced by:  infdiffi  8095  infcda1  8594  infpss  8618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538