Theorem imadif 5668

Description: The image of a difference is the difference of images. (Contributed by NM, 24-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
imadif

Proof of Theorem imadif

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anandir 829	. . . . . . . 8
2	1	exbii 1667	. . . . . . 7
3		19.40 1679	. . . . . . 7
4	2, 3	sylbi 195	. . . . . 6
5		nfv 1707	. . . . . . . . . . 11
6		nfe1 1840	. . . . . . . . . . 11
7	5, 6	nfan 1928	. . . . . . . . . 10
8		funmo 5609	. . . . . . . . . . . . . 14
9		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . 16
10		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . 16
11	9, 10	brcnv 5190	. . . . . . . . . . . . . . 15
12	11	mobii 2307	. . . . . . . . . . . . . 14
13	8, 12	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13
14		mopick 2356	. . . . . . . . . . . . 13
15	13, 14	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12
16	15	con2d 115	. . . . . . . . . . 11
17		imnan 422	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	sylib 196	. . . . . . . . . 10
19	7, 18	alrimi 1877	. . . . . . . . 9
20	19	ex 434	. . . . . . . 8
21		exancom 1671	. . . . . . . 8
22		alnex 1614	. . . . . . . 8
23	20, 21, 22	3imtr3g 269	. . . . . . 7
24	23	anim2d 565	. . . . . 6
25	4, 24	syl5 32	. . . . 5
26		19.29r 1684	. . . . . . 7
27	22, 26	sylan2br 476	. . . . . 6
28		andi 867	. . . . . . . 8
29		ianor 488	. . . . . . . . 9
30	29	anbi2i 694	. . . . . . . 8
31		an32 798	. . . . . . . . 9
32		pm3.24 882	. . . . . . . . . . . 12
33	32	intnan 914	. . . . . . . . . . 11
34		anass 649	. . . . . . . . . . 11
35	33, 34	mtbir 299	. . . . . . . . . 10
36	35	biorfi 407	. . . . . . . . 9
37	31, 36	bitri 249	. . . . . . . 8
38	28, 30, 37	3bitr4i 277	. . . . . . 7
39	38	exbii 1667	. . . . . 6
40	27, 39	sylib 196	. . . . 5
41	25, 40	impbid1 203	. . . 4
42		eldif 3485	. . . . . 6
43	42	anbi1i 695	. . . . 5
44	43	exbii 1667	. . . 4
45	9	elima2 5348	. . . . 5
46	9	elima2 5348	. . . . . 6
47	46	notbii 296	. . . . 5
48	45, 47	anbi12i 697	. . . 4
49	41, 44, 48	3bitr4g 288	. . 3
50	9	elima2 5348	. . 3
51		eldif 3485	. . 3
52	49, 50, 51	3bitr4g 288	. 2
53	52	eqrdv 2454	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E*wmo 2283  \cdif 3472   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  "cima 5007  Funwfun 5587

This theorem is referenced by:  imain  5669  resdif  5841  difpreima  6015  domunsncan  7637  phplem4  7719  php3  7723  infdifsn  8094  cantnfp1lem3  8120  cantnfp1lem3OLD  8146  mapfienOLD  8159  enfin1ai  8785  fin1a2lem7  8807  symgfixelsi  16460  dprdf1o  17079  frlmlbs  18831  f1lindf  18857  cnclima  19769  iscncl  19770  qtopcld  20214  qtoprest  20218  qtopcmap  20220  mbfimaicc  22040  ismbf3d  22061  i1fd  22088  ballotlemfrc  28465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595