Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpss Unicode version

Theorem infpss 8618
 Description: Every infinite set has an equinumerous proper subset, proved without AC or Infinity. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 91. See also infpssALT 8714. (Contributed by NM, 23-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infpss
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem infpss
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infn0 7802 . . 3
2 n0 3794 . . 3
31, 2sylib 196 . 2
4 reldom 7542 . . . . . 6
54brrelex2i 5046 . . . . 5
6 difexg 4600 . . . . 5
75, 6syl 16 . . . 4
87adantr 465 . . 3
9 simpr 461 . . . . 5
10 difsnpss 4173 . . . . 5
119, 10sylib 196 . . . 4
12 infdifsn 8094 . . . . 5
1312adantr 465 . . . 4
1411, 13jca 532 . . 3
15 psseq1 3590 . . . . 5
16 breq1 4455 . . . . 5
1715, 16anbi12d 710 . . . 4
1817spcegv 3195 . . 3
198, 14, 18sylc 60 . 2
203, 19exlimddv 1726 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  \cdif 3472  C.wpss 3476   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452   com 6700   cen 7533   cdom 7534 This theorem is referenced by:  isfin4-2  8715 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540
 Copyright terms: Public domain W3C validator