Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmap2 Unicode version

Theorem infmap2 8619
 Description: An exponentiation law for infinite cardinals. Similar to Lemma 6.2 of [Jech] p. 43. Although this version of infmap 8972 avoids the axiom of choice, it requires the powerset of an infinite set to be well-orderable and so is usually not applicable. (Contributed by NM, 1-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infmap2
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem infmap2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . 3
2 breq2 4456 . . . . 5
32anbi2d 703 . . . 4
43abbidv 2593 . . 3
51, 4breq12d 4465 . 2
6 simpl2 1000 . . . . . . . . . 10
7 reldom 7542 . . . . . . . . . . 11
87brrelexi 5045 . . . . . . . . . 10
96, 8syl 16 . . . . . . . . 9
107brrelex2i 5046 . . . . . . . . . 10
116, 10syl 16 . . . . . . . . 9
12 xpcomeng 7629 . . . . . . . . 9
139, 11, 12syl2anc 661 . . . . . . . 8
14 simpl3 1001 . . . . . . . . . 10
15 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
16 mapdom3 7709 . . . . . . . . . . 11
1711, 9, 15, 16syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
18 numdom 8440 . . . . . . . . . 10
1914, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . . 9
20 simpl1 999 . . . . . . . . 9
21 infxpabs 8613 . . . . . . . . 9
2219, 20, 15, 6, 21syl22anc 1229 . . . . . . . 8
23 entr 7587 . . . . . . . 8
2413, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . 7
25 ssenen 7711 . . . . . . 7
2624, 25syl 16 . . . . . 6
27 relen 7541 . . . . . . 7
2827brrelexi 5045 . . . . . 6
2926, 28syl 16 . . . . 5
30 abid2 2597 . . . . . 6
31 elmapi 7460 . . . . . . . 8
32 fssxp 5748 . . . . . . . . 9
33 ffun 5738 . . . . . . . . . . 11
34 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
3534fundmen 7609 . . . . . . . . . . 11
36 ensym 7584 . . . . . . . . . . 11
3733, 35, 363syl 20 . . . . . . . . . 10
38 fdm 5740 . . . . . . . . . 10
3937, 38breqtrd 4476 . . . . . . . . 9
4032, 39jca 532 . . . . . . . 8
4131, 40syl 16 . . . . . . 7
4241ss2abi 3571 . . . . . 6
4330, 42eqsstr3i 3534 . . . . 5
44 ssdomg 7581 . . . . 5
4529, 43, 44mpisyl 18 . . . 4
46 domentr 7594 . . . 4
4745, 26, 46syl2anc 661 . . 3
48 ovex 6324 . . . . . . 7
4948mptex 6143 . . . . . 6
5049rnex 6734 . . . . 5
51 ensym 7584 . . . . . . . . . . . 12
5251ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11
53 bren 7545 . . . . . . . . . . 11
5452, 53sylib 196 . . . . . . . . . 10
55 f1of 5821 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . 15
5856, 57fssd 5745 . . . . . . . . . . . . . 14
5911, 9elmapd 7453 . . . . . . . . . . . . . . 15
6059ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14
6158, 60mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13
62 f1ofo 5828 . . . . . . . . . . . . . . . 16
63 forn 5803 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
6564adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
6665eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . 13
6761, 66jca 532 . . . . . . . . . . . 12
6867ex 434 . . . . . . . . . . 11
6968eximdv 1710 . . . . . . . . . 10
7054, 69mpd 15 . . . . . . . . 9
71 df-rex 2813 . . . . . . . . 9
7270, 71sylibr 212 . . . . . . . 8
7372ex 434 . . . . . . 7
7473ss2abdv 3572 . . . . . 6
75 eqid 2457 . . . . . . 7
7675rnmpt 5253 . . . . . 6
7774, 76syl6sseqr 3550 . . . . 5
78 ssdomg 7581 . . . . 5
7950, 77, 78mpsyl 63 . . . 4
80 vex 3112 . . . . . . . . 9
8180rnex 6734 . . . . . . . 8
8281rgenw 2818 . . . . . . 7
8375fnmpt 5712 . . . . . . 7
8482, 83mp1i 12 . . . . . 6
85 dffn4 5806 . . . . . 6
8684, 85sylib 196 . . . . 5
87 fodomnum 8459 . . . . 5
8814, 86, 87sylc 60 . . . 4
89 domtr 7588 . . . 4
9079, 88, 89syl2anc 661 . . 3
91 sbth 7657 . . 3
9247, 90, 91syl2anc 661 . 2
937brrelex2i 5046 . . . . 5
94933ad2ant1 1017 . . . 4
95 map0e 7476 . . . 4
9694, 95syl 16 . . 3
97 1onn 7307 . . . . . 6
9897elexi 3119 . . . . 5
9998enref 7568 . . . 4
100 df-sn 4030 . . . . 5
101 df1o2 7161 . . . . 5
102 en0 7598 . . . . . . . 8
103102anbi2i 694 . . . . . . 7
104 0ss 3814 . . . . . . . . 9
105 sseq1 3524 . . . . . . . . 9
106104, 105mpbiri 233 . . . . . . . 8
107106pm4.71ri 633 . . . . . . 7
108103, 107bitr4i 252 . . . . . 6
109108abbii 2591 . . . . 5
110100, 101, 1093eqtr4ri 2497 . . . 4
11199, 110breqtrri 4477 . . 3
11296, 111syl6eqbr 4489 . 2
1135, 92, 112pm2.61ne 2772 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  (class class class)co 6296   com 6700   c1o 7142   cmap 7439   cen 7533   cdom 7534   ccrd 8337 This theorem is referenced by:  infmap  8972 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-card 8341  df-acn 8344
 Copyright terms: Public domain W3C validator