Theorem infpssr 8709

Description: Dedekind infinity implies existence of a denumerable subset: take a single point witnessing the proper subset relation and iterate the embedding. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infpssr

Proof of Theorem infpssr

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssnel 3893	. . 3
2	1	adantr 465	. 2
3		eldif 3485	. . . 4
4		pssss 3598	. . . . . 6
5		bren 7545	. . . . . . . 8
6		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13
7		f1ofo 5828	. . . . . . . . . . . . 13
8		forn 5803	. . . . . . . . . . . . 13
9	6, 7, 8	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12
10		vex 3112	. . . . . . . . . . . . 13
11	10	rnex 6734	. . . . . . . . . . . 12
12	9, 11	syl6eqelr 2554	. . . . . . . . . . 11
13		simplr 755	. . . . . . . . . . . 12
14		simpll 753	. . . . . . . . . . . 12
15		eqid 2457	. . . . . . . . . . . 12
16	13, 6, 14, 15	infpssrlem5 8708	. . . . . . . . . . 11
17	12, 16	mpd 15	. . . . . . . . . 10
18	17	ex 434	. . . . . . . . 9
19	18	exlimdv 1724	. . . . . . . 8
20	5, 19	syl5bi 217	. . . . . . 7
21	20	ex 434	. . . . . 6
22	4, 21	syl5 32	. . . . 5
23	22	impd 431	. . . 4
24	3, 23	sylbir 213	. . 3
25	24	exlimiv 1722	. 2
26	2, 25	mpcom 36	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475  C.wpss 3476   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  rancrn 5005  |`cres 5006  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  com 6700  reccrdg 7094  cen 7533  cdom 7534

This theorem is referenced by:  isfin4-2  8715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-en 7537  df-dom 7538