Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpssr Unicode version

Theorem infpssr 8709
 Description: Dedekind infinity implies existence of a denumerable subset: take a single point witnessing the proper subset relation and iterate the embedding. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
infpssr

Proof of Theorem infpssr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssnel 3893 . . 3
3 eldif 3485 . . . 4
4 pssss 3598 . . . . . 6
5 bren 7545 . . . . . . . 8
6 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
7 f1ofo 5828 . . . . . . . . . . . . 13
8 forn 5803 . . . . . . . . . . . . 13
96, 7, 83syl 20 . . . . . . . . . . . 12
10 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
1110rnex 6734 . . . . . . . . . . . 12
129, 11syl6eqelr 2554 . . . . . . . . . . 11
13 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12
14 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12
15 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
1613, 6, 14, 15infpssrlem5 8708 . . . . . . . . . . 11
1712, 16mpd 15 . . . . . . . . . 10
1817ex 434 . . . . . . . . 9
1918exlimdv 1724 . . . . . . . 8
205, 19syl5bi 217 . . . . . . 7
2120ex 434 . . . . . 6
224, 21syl5 32 . . . . 5
2322impd 431 . . . 4
243, 23sylbir 213 . . 3
2524exlimiv 1722 . 2
262, 25mpcom 36 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475  C.wpss 3476   class class class wbr 4452  'ccnv 5003  rancrn 5005  |cres 5006  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592   com 6700  reccrdg 7094   cen 7533   cdom 7534 This theorem is referenced by:  isfin4-2  8715 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-en 7537  df-dom 7538
 Copyright terms: Public domain W3C validator