Metamath Proof Explorer

Theorem aaliou3lem3

Description: Lemma for aaliou3 . (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014)

Ref Expression
Hypotheses aaliou3lem.a 
|- G = ( c e. ( ZZ>= ` A ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - A ) ) ) )
aaliou3lem.b 
|- F = ( a e. NN |-> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) )
Assertion aaliou3lem3 
|- ( A e. NN -> ( seq A ( + , F ) e. dom ~~> /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` A ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` A ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 aaliou3lem.a 
 |-  G = ( c e. ( ZZ>= ` A ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - A ) ) ) )
2 aaliou3lem.b 
 |-  F = ( a e. NN |-> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) )
3 eqid 
 |-  ( ZZ>= ` A ) = ( ZZ>= ` A )
4 nnz 
 |-  ( A e. NN -> A e. ZZ )
5 uzid 
 |-  ( A e. ZZ -> A e. ( ZZ>= ` A ) )
6 4 5 syl 
 |-  ( A e. NN -> A e. ( ZZ>= ` A ) )
7 1 aaliou3lem1 
 |-  ( ( A e. NN /\ b e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( G ` b ) e. RR )
8 1 2 aaliou3lem2 
 |-  ( ( A e. NN /\ b e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( F ` b ) e. ( 0 (,] ( G ` b ) ) )
9 0xr 
 |-  0 e. RR*
10 elioc2 
 |-  ( ( 0 e. RR* /\ ( G ` b ) e. RR ) -> ( ( F ` b ) e. ( 0 (,] ( G ` b ) ) <-> ( ( F ` b ) e. RR /\ 0 < ( F ` b ) /\ ( F ` b ) <_ ( G ` b ) ) ) )
11 9 7 10 sylancr 
 |-  ( ( A e. NN /\ b e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( F ` b ) e. ( 0 (,] ( G ` b ) ) <-> ( ( F ` b ) e. RR /\ 0 < ( F ` b ) /\ ( F ` b ) <_ ( G ` b ) ) ) )
12 8 11 mpbid 
 |-  ( ( A e. NN /\ b e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( F ` b ) e. RR /\ 0 < ( F ` b ) /\ ( F ` b ) <_ ( G ` b ) ) )
13 12 simp1d 
 |-  ( ( A e. NN /\ b e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( F ` b ) e. RR )
14 halfcn 
 |-  ( 1 / 2 ) e. CC
15 14 a1i 
 |-  ( A e. NN -> ( 1 / 2 ) e. CC )
16 halfre 
 |-  ( 1 / 2 ) e. RR
17 halfgt0 
 |-  0 < ( 1 / 2 )
18 16 17 elrpii 
 |-  ( 1 / 2 ) e. RR+
19 rprege0 
 |-  ( ( 1 / 2 ) e. RR+ -> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) ) )
20 absid 
 |-  ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( abs ` ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
21 18 19 20 mp2b 
 |-  ( abs ` ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
22 halflt1 
 |-  ( 1 / 2 ) < 1
23 21 22 eqbrtri 
 |-  ( abs ` ( 1 / 2 ) ) < 1
24 23 a1i 
 |-  ( A e. NN -> ( abs ` ( 1 / 2 ) ) < 1 )
25 2rp 
 |-  2 e. RR+
26 nnnn0 
 |-  ( A e. NN -> A e. NN0 )
27 26 faccld 
 |-  ( A e. NN -> ( ! ` A ) e. NN )
28 27 nnzd 
 |-  ( A e. NN -> ( ! ` A ) e. ZZ )
29 28 znegcld 
 |-  ( A e. NN -> -u ( ! ` A ) e. ZZ )
30 rpexpcl 
 |-  ( ( 2 e. RR+ /\ -u ( ! ` A ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) e. RR+ )
31 25 29 30 sylancr 
 |-  ( A e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) e. RR+ )
32 31 rpcnd 
 |-  ( A e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) e. CC )
33 4 15 24 32 1 geolim3 
 |-  ( A e. NN -> seq A ( + , G ) ~~> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) )
34 seqex 
 |-  seq A ( + , G ) e. _V
35 ovex 
 |-  ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) e. _V
36 34 35 breldm 
 |-  ( seq A ( + , G ) ~~> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) -> seq A ( + , G ) e. dom ~~> )
37 33 36 syl 
 |-  ( A e. NN -> seq A ( + , G ) e. dom ~~> )
38 12 simp2d 
 |-  ( ( A e. NN /\ b e. ( ZZ>= ` A ) ) -> 0 < ( F ` b ) )
39 13 38 elrpd 
 |-  ( ( A e. NN /\ b e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( F ` b ) e. RR+ )
40 39 rpge0d 
 |-  ( ( A e. NN /\ b e. ( ZZ>= ` A ) ) -> 0 <_ ( F ` b ) )
41 12 simp3d 
 |-  ( ( A e. NN /\ b e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( F ` b ) <_ ( G ` b ) )
42 3 6 7 13 37 40 41 cvgcmp 
 |-  ( A e. NN -> seq A ( + , F ) e. dom ~~> )
43 eqidd 
 |-  ( ( A e. NN /\ b e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( F ` b ) = ( F ` b ) )
44 3 3 6 43 39 42 isumrpcl 
 |-  ( A e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` A ) ( F ` b ) e. RR+ )
45 eqidd 
 |-  ( ( A e. NN /\ b e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( G ` b ) = ( G ` b ) )
46 3 4 43 13 45 7 41 42 37 isumle 
 |-  ( A e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` A ) ( F ` b ) <_ sum_ b e. ( ZZ>= ` A ) ( G ` b ) )
47 7 recnd 
 |-  ( ( A e. NN /\ b e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( G ` b ) e. CC )
48 3 4 45 47 33 isumclim 
 |-  ( A e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` A ) ( G ` b ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) )
49 1mhlfehlf 
 |-  ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
50 49 oveq2i 
 |-  ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) / ( 1 / 2 ) )
51 2cn 
 |-  2 e. CC
52 mulcl 
 |-  ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. 2 ) e. CC )
53 32 51 52 sylancl 
 |-  ( A e. NN -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. 2 ) e. CC )
54 53 div1d 
 |-  ( A e. NN -> ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. 2 ) / 1 ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. 2 ) )
55 1rp 
 |-  1 e. RR+
56 rpcnne0 
 |-  ( 1 e. RR+ -> ( 1 e. CC /\ 1 =/= 0 ) )
57 55 56 ax-mp 
 |-  ( 1 e. CC /\ 1 =/= 0 )
58 2cnne0 
 |-  ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
59 divdiv2 
 |-  ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) e. CC /\ ( 1 e. CC /\ 1 =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) / ( 1 / 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. 2 ) / 1 ) )
60 57 58 59 mp3an23 
 |-  ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) e. CC -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) / ( 1 / 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. 2 ) / 1 ) )
61 32 60 syl 
 |-  ( A e. NN -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) / ( 1 / 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. 2 ) / 1 ) )
62 mulcom 
 |-  ( ( 2 e. CC /\ ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) e. CC ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. 2 ) )
63 51 32 62 sylancr 
 |-  ( A e. NN -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. 2 ) )
64 54 61 63 3eqtr4d 
 |-  ( A e. NN -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) / ( 1 / 2 ) ) = ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) ) )
65 50 64 syl5eq 
 |-  ( A e. NN -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) ) )
66 48 65 eqtrd 
 |-  ( A e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` A ) ( G ` b ) = ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) ) )
67 46 66 breqtrd 
 |-  ( A e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` A ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) ) )
68 42 44 67 3jca 
 |-  ( A e. NN -> ( seq A ( + , F ) e. dom ~~> /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` A ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` A ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) ) ) )