Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
acunirnmpt.0 |
|- ( ph -> A e. V ) |
2 |
|
acunirnmpt.1 |
|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B =/= (/) ) |
3 |
|
acunirnmpt2.2 |
|- C = U. ran ( j e. A |-> B ) |
4 |
|
acunirnmpt2.3 |
|- ( j = ( f ` x ) -> B = D ) |
5 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> y e. ran ( j e. A |-> B ) ) |
6 |
|
vex |
|- y e. _V |
7 |
|
eqid |
|- ( j e. A |-> B ) = ( j e. A |-> B ) |
8 |
7
|
elrnmpt |
|- ( y e. _V -> ( y e. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. j e. A y = B ) ) |
9 |
6 8
|
ax-mp |
|- ( y e. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. j e. A y = B ) |
10 |
5 9
|
sylib |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> E. j e. A y = B ) |
11 |
|
nfv |
|- F/ j ( ph /\ x e. C ) |
12 |
|
nfcv |
|- F/_ j y |
13 |
|
nfmpt1 |
|- F/_ j ( j e. A |-> B ) |
14 |
13
|
nfrn |
|- F/_ j ran ( j e. A |-> B ) |
15 |
12 14
|
nfel |
|- F/ j y e. ran ( j e. A |-> B ) |
16 |
11 15
|
nfan |
|- F/ j ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) |
17 |
|
nfv |
|- F/ j x e. y |
18 |
16 17
|
nfan |
|- F/ j ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) |
19 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> x e. y ) |
20 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> y = B ) |
21 |
19 20
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> x e. B ) |
22 |
21
|
ex |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) -> ( y = B -> x e. B ) ) |
23 |
22
|
ex |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> ( j e. A -> ( y = B -> x e. B ) ) ) |
24 |
18 23
|
reximdai |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> ( E. j e. A y = B -> E. j e. A x e. B ) ) |
25 |
10 24
|
mpd |
|- ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> E. j e. A x e. B ) |
26 |
3
|
eleq2i |
|- ( x e. C <-> x e. U. ran ( j e. A |-> B ) ) |
27 |
26
|
biimpi |
|- ( x e. C -> x e. U. ran ( j e. A |-> B ) ) |
28 |
|
eluni2 |
|- ( x e. U. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. y e. ran ( j e. A |-> B ) x e. y ) |
29 |
27 28
|
sylib |
|- ( x e. C -> E. y e. ran ( j e. A |-> B ) x e. y ) |
30 |
29
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. C ) -> E. y e. ran ( j e. A |-> B ) x e. y ) |
31 |
25 30
|
r19.29a |
|- ( ( ph /\ x e. C ) -> E. j e. A x e. B ) |
32 |
31
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. x e. C E. j e. A x e. B ) |
33 |
|
mptexg |
|- ( A e. V -> ( j e. A |-> B ) e. _V ) |
34 |
|
rnexg |
|- ( ( j e. A |-> B ) e. _V -> ran ( j e. A |-> B ) e. _V ) |
35 |
|
uniexg |
|- ( ran ( j e. A |-> B ) e. _V -> U. ran ( j e. A |-> B ) e. _V ) |
36 |
1 33 34 35
|
4syl |
|- ( ph -> U. ran ( j e. A |-> B ) e. _V ) |
37 |
3 36
|
eqeltrid |
|- ( ph -> C e. _V ) |
38 |
|
id |
|- ( c = C -> c = C ) |
39 |
38
|
raleqdv |
|- ( c = C -> ( A. x e. c E. j e. A x e. B <-> A. x e. C E. j e. A x e. B ) ) |
40 |
38
|
feq2d |
|- ( c = C -> ( f : c --> A <-> f : C --> A ) ) |
41 |
38
|
raleqdv |
|- ( c = C -> ( A. x e. c x e. D <-> A. x e. C x e. D ) ) |
42 |
40 41
|
anbi12d |
|- ( c = C -> ( ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) <-> ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) ) |
43 |
42
|
exbidv |
|- ( c = C -> ( E. f ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) <-> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) ) |
44 |
39 43
|
imbi12d |
|- ( c = C -> ( ( A. x e. c E. j e. A x e. B -> E. f ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) ) <-> ( A. x e. C E. j e. A x e. B -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) ) ) |
45 |
|
vex |
|- c e. _V |
46 |
4
|
eleq2d |
|- ( j = ( f ` x ) -> ( x e. B <-> x e. D ) ) |
47 |
45 46
|
ac6s |
|- ( A. x e. c E. j e. A x e. B -> E. f ( f : c --> A /\ A. x e. c x e. D ) ) |
48 |
44 47
|
vtoclg |
|- ( C e. _V -> ( A. x e. C E. j e. A x e. B -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) ) |
49 |
37 48
|
syl |
|- ( ph -> ( A. x e. C E. j e. A x e. B -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) ) |
50 |
32 49
|
mpd |
|- ( ph -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) ) |