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Theorem acunirnmpt2

Description: Axiom of choice for the union of the range of a mapping to function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2019) Remove dependency on ax-reg and ax-inf2 . (Revised by Timothy J. O'Malley, 15-Oct-2026)

Ref Expression
Hypotheses acunirnmpt.0 
|- ( ph -> A e. V )
acunirnmpt.1 
|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B =/= (/) )
acunirnmpt2.2 
|- C = U. ran ( j e. A |-> B )
acunirnmpt2.3 
|- ( j = ( f ` x ) -> B = D )
Assertion acunirnmpt2 
|- ( ph -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 acunirnmpt.0 
 |-  ( ph -> A e. V )
2 acunirnmpt.1 
 |-  ( ( ph /\ j e. A ) -> B =/= (/) )
3 acunirnmpt2.2 
 |-  C = U. ran ( j e. A |-> B )
4 acunirnmpt2.3 
 |-  ( j = ( f ` x ) -> B = D )
5 mptexg 
 |-  ( A e. V -> ( j e. A |-> B ) e. _V )
6 rnexg 
 |-  ( ( j e. A |-> B ) e. _V -> ran ( j e. A |-> B ) e. _V )
7 uniexg 
 |-  ( ran ( j e. A |-> B ) e. _V -> U. ran ( j e. A |-> B ) e. _V )
8 1 5 6 7 4syl 
 |-  ( ph -> U. ran ( j e. A |-> B ) e. _V )
9 3 8 eqeltrid 
 |-  ( ph -> C e. _V )
10 eqid 
 |-  ( j e. A |-> B ) = ( j e. A |-> B )
11 simplr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> y e. ran ( j e. A |-> B ) )
12 10 11 elrnmpt2d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> E. j e. A y = B )
13 nfv 
 |-  F/ j ( ph /\ x e. C )
14 nfmpt1 
 |-  F/_ j ( j e. A |-> B )
15 14 nfrn 
 |-  F/_ j ran ( j e. A |-> B )
16 15 nfcri 
 |-  F/ j y e. ran ( j e. A |-> B )
17 13 16 nfan 
 |-  F/ j ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) )
18 nfv 
 |-  F/ j x e. y
19 17 18 nfan 
 |-  F/ j ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y )
20 simpllr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> x e. y )
21 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> y = B )
22 20 21 eleqtrd 
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) /\ j e. A ) /\ y = B ) -> x e. B )
23 22 exp31 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> ( j e. A -> ( y = B -> x e. B ) ) )
24 19 23 reximdai 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> ( E. j e. A y = B -> E. j e. A x e. B ) )
25 12 24 mpd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. ran ( j e. A |-> B ) ) /\ x e. y ) -> E. j e. A x e. B )
26 3 eleq2i 
 |-  ( x e. C <-> x e. U. ran ( j e. A |-> B ) )
27 eluni2 
 |-  ( x e. U. ran ( j e. A |-> B ) <-> E. y e. ran ( j e. A |-> B ) x e. y )
28 26 27 sylbb 
 |-  ( x e. C -> E. y e. ran ( j e. A |-> B ) x e. y )
29 28 adantl 
 |-  ( ( ph /\ x e. C ) -> E. y e. ran ( j e. A |-> B ) x e. y )
30 25 29 r19.29a 
 |-  ( ( ph /\ x e. C ) -> E. j e. A x e. B )
31 30 ralrimiva 
 |-  ( ph -> A. x e. C E. j e. A x e. B )
32 4 eleq2d 
 |-  ( j = ( f ` x ) -> ( x e. B <-> x e. D ) )
33 32 ac6 
 |-  ( ( C e. _V /\ A e. V /\ A. x e. C E. j e. A x e. B ) -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) )
34 9 1 31 33 syl3anc 
 |-  ( ph -> E. f ( f : C --> A /\ A. x e. C x e. D ) )