baerlem5bmN

Description: An equality that holds when X , Y , Z are independent (non-colinear) vectors. Subtraction version of second equation of part (5) in Baer p. 46. TODO: This is the subtraction version, may not be needed. TODO: delete if baerlem5abmN is used. (Contributed by NM, 24-May-2015) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	baerlem3.v	\|- V = ( Base ` W )
	baerlem3.m	\|- .- = ( -g ` W )
	baerlem3.o	\|- .0. = ( 0g ` W )
	baerlem3.s	\|- .(+) = ( LSSum ` W )
	baerlem3.n	\|- N = ( LSpan ` W )
	baerlem3.w	\|- ( ph -> W e. LVec )
	baerlem3.x	\|- ( ph -> X e. V )
	baerlem3.c	\|- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
	baerlem3.d	\|- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
	baerlem3.y	\|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
	baerlem3.z	\|- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
	baerlem5a.p	\|- .+ = ( +g ` W )
Assertion	baerlem5bmN	\|- ( ph -> ( N ` { ( Y .- Z ) } ) = ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .- Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.v	\|- V = ( Base ` W )
2		baerlem3.m	\|- .- = ( -g ` W )
3		baerlem3.o	\|- .0. = ( 0g ` W )
4		baerlem3.s	\|- .(+) = ( LSSum ` W )
5		baerlem3.n	\|- N = ( LSpan ` W )
6		baerlem3.w	\|- ( ph -> W e. LVec )
7		baerlem3.x	\|- ( ph -> X e. V )
8		baerlem3.c	\|- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
9		baerlem3.d	\|- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
10		baerlem3.y	\|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
11		baerlem3.z	\|- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
12		baerlem5a.p	\|- .+ = ( +g ` W )
13	10	eldifad	\|- ( ph -> Y e. V )
14	11	eldifad	\|- ( ph -> Z e. V )
15		eqid	\|- ( invg ` W ) = ( invg ` W )
16	1 12 15 2	grpsubval	\|- ( ( Y e. V /\ Z e. V ) -> ( Y .- Z ) = ( Y .+ ( ( invg ` W ) ` Z ) ) )
17	13 14 16	syl2anc	\|- ( ph -> ( Y .- Z ) = ( Y .+ ( ( invg ` W ) ` Z ) ) )
18	17	sneqd	\|- ( ph -> { ( Y .- Z ) } = { ( Y .+ ( ( invg ` W ) ` Z ) ) } )
19	18	fveq2d	\|- ( ph -> ( N ` { ( Y .- Z ) } ) = ( N ` { ( Y .+ ( ( invg ` W ) ` Z ) ) } ) )
20		lveclmod	\|- ( W e. LVec -> W e. LMod )
21	6 20	syl	\|- ( ph -> W e. LMod )
22	1 15	lmodvnegcl	\|- ( ( W e. LMod /\ Z e. V ) -> ( ( invg ` W ) ` Z ) e. V )
23	21 14 22	syl2anc	\|- ( ph -> ( ( invg ` W ) ` Z ) e. V )
24		eqid	\|- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
25	1 24 5 21 13 14	lspprcl	\|- ( ph -> ( N ` { Y , Z } ) e. ( LSubSp ` W ) )
26	3 24 21 25 7 8	lssneln0	\|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
27	1 5 6 7 13 14 8	lspindpi	\|- ( ph -> ( ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) /\ ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Z } ) ) )
28	27	simpld	\|- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
29	1 3 5 6 26 13 28	lspsnne1	\|- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y } ) )
30	9	necomd	\|- ( ph -> ( N ` { Z } ) =/= ( N ` { Y } ) )
31	1 3 5 6 11 13 30	lspsnne1	\|- ( ph -> -. Z e. ( N ` { Y } ) )
32	1 5 6 7 14 13 31 8	lspexchn2	\|- ( ph -> -. Z e. ( N ` { Y , X } ) )
33		lmodgrp	\|- ( W e. LMod -> W e. Grp )
34	21 33	syl	\|- ( ph -> W e. Grp )
35	34	adantr	\|- ( ( ph /\ ( ( invg ` W ) ` Z ) e. ( N ` { Y , X } ) ) -> W e. Grp )
36	14	adantr	\|- ( ( ph /\ ( ( invg ` W ) ` Z ) e. ( N ` { Y , X } ) ) -> Z e. V )
37	1 15	grpinvinv	\|- ( ( W e. Grp /\ Z e. V ) -> ( ( invg ` W ) ` ( ( invg ` W ) ` Z ) ) = Z )
38	35 36 37	syl2anc	\|- ( ( ph /\ ( ( invg ` W ) ` Z ) e. ( N ` { Y , X } ) ) -> ( ( invg ` W ) ` ( ( invg ` W ) ` Z ) ) = Z )
39	21	adantr	\|- ( ( ph /\ ( ( invg ` W ) ` Z ) e. ( N ` { Y , X } ) ) -> W e. LMod )
40	1 24 5 21 13 7	lspprcl	\|- ( ph -> ( N ` { Y , X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
41	40	adantr	\|- ( ( ph /\ ( ( invg ` W ) ` Z ) e. ( N ` { Y , X } ) ) -> ( N ` { Y , X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
42		simpr	\|- ( ( ph /\ ( ( invg ` W ) ` Z ) e. ( N ` { Y , X } ) ) -> ( ( invg ` W ) ` Z ) e. ( N ` { Y , X } ) )
43	24 15	lssvnegcl	\|- ( ( W e. LMod /\ ( N ` { Y , X } ) e. ( LSubSp ` W ) /\ ( ( invg ` W ) ` Z ) e. ( N ` { Y , X } ) ) -> ( ( invg ` W ) ` ( ( invg ` W ) ` Z ) ) e. ( N ` { Y , X } ) )
44	39 41 42 43	syl3anc	\|- ( ( ph /\ ( ( invg ` W ) ` Z ) e. ( N ` { Y , X } ) ) -> ( ( invg ` W ) ` ( ( invg ` W ) ` Z ) ) e. ( N ` { Y , X } ) )
45	38 44	eqeltrrd	\|- ( ( ph /\ ( ( invg ` W ) ` Z ) e. ( N ` { Y , X } ) ) -> Z e. ( N ` { Y , X } ) )
46	32 45	mtand	\|- ( ph -> -. ( ( invg ` W ) ` Z ) e. ( N ` { Y , X } ) )
47	1 5 6 23 7 13 29 46	lspexchn2	\|- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , ( ( invg ` W ) ` Z ) } ) )
48	1 15 5	lspsnneg	\|- ( ( W e. LMod /\ Z e. V ) -> ( N ` { ( ( invg ` W ) ` Z ) } ) = ( N ` { Z } ) )
49	21 14 48	syl2anc	\|- ( ph -> ( N ` { ( ( invg ` W ) ` Z ) } ) = ( N ` { Z } ) )
50	9 49	neeqtrrd	\|- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { ( ( invg ` W ) ` Z ) } ) )
51	1 3 15	grpinvnzcl	\|- ( ( W e. Grp /\ Z e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( invg ` W ) ` Z ) e. ( V \ { .0. } ) )
52	34 11 51	syl2anc	\|- ( ph -> ( ( invg ` W ) ` Z ) e. ( V \ { .0. } ) )
53	1 2 3 4 5 6 7 47 50 10 52 12	baerlem5b	\|- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ ( ( invg ` W ) ` Z ) ) } ) = ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { ( ( invg ` W ) ` Z ) } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ ( ( invg ` W ) ` Z ) ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) )
54	49	oveq2d	\|- ( ph -> ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { ( ( invg ` W ) ` Z ) } ) ) = ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) )
55	17	eqcomd	\|- ( ph -> ( Y .+ ( ( invg ` W ) ` Z ) ) = ( Y .- Z ) )
56	55	oveq2d	\|- ( ph -> ( X .- ( Y .+ ( ( invg ` W ) ` Z ) ) ) = ( X .- ( Y .- Z ) ) )
57	56	sneqd	\|- ( ph -> { ( X .- ( Y .+ ( ( invg ` W ) ` Z ) ) ) } = { ( X .- ( Y .- Z ) ) } )
58	57	fveq2d	\|- ( ph -> ( N ` { ( X .- ( Y .+ ( ( invg ` W ) ` Z ) ) ) } ) = ( N ` { ( X .- ( Y .- Z ) ) } ) )
59	58	oveq1d	\|- ( ph -> ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ ( ( invg ` W ) ` Z ) ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) = ( ( N ` { ( X .- ( Y .- Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) )
60	54 59	ineq12d	\|- ( ph -> ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { ( ( invg ` W ) ` Z ) } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ ( ( invg ` W ) ` Z ) ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) = ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .- Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) )
61	19 53 60	3eqtrd	\|- ( ph -> ( N ` { ( Y .- Z ) } ) = ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .- Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) )

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Theorem baerlem5bmN

Proof