Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdleme12.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdleme12.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdleme12.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdleme12.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdleme12.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdleme12.u |
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) |
7 |
|
cdleme12.f |
|- F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) |
8 |
|
cdleme12.g |
|- G = ( ( T .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) |
9 |
|
simp11l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> K e. HL ) |
10 |
9
|
hllatd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> K e. Lat ) |
11 |
|
simp21l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> S e. A ) |
12 |
|
simp22l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> T e. A ) |
13 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
14 |
13 2 4
|
hlatjcl |
|- ( ( K e. HL /\ S e. A /\ T e. A ) -> ( S .\/ T ) e. ( Base ` K ) ) |
15 |
9 11 12 14
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( S .\/ T ) e. ( Base ` K ) ) |
16 |
|
simp11 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
17 |
|
simp12 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
18 |
|
simp13 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) |
19 |
|
simp21 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) |
20 |
|
simp23l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> P =/= Q ) |
21 |
|
simp31 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) |
22 |
1 2 3 4 5 6 7
|
cdleme3fa |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> F e. A ) |
23 |
16 17 18 19 20 21 22
|
syl132anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> F e. A ) |
24 |
|
simp22 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) |
25 |
|
simp32 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) |
26 |
1 2 3 4 5 6 8
|
cdleme3fa |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> G e. A ) |
27 |
16 17 18 24 20 25 26
|
syl132anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> G e. A ) |
28 |
13 2 4
|
hlatjcl |
|- ( ( K e. HL /\ F e. A /\ G e. A ) -> ( F .\/ G ) e. ( Base ` K ) ) |
29 |
9 23 27 28
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( F .\/ G ) e. ( Base ` K ) ) |
30 |
13 1 3
|
latmle2 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( S .\/ T ) e. ( Base ` K ) /\ ( F .\/ G ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( S .\/ T ) ./\ ( F .\/ G ) ) .<_ ( F .\/ G ) ) |
31 |
10 15 29 30
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( S .\/ T ) ./\ ( F .\/ G ) ) .<_ ( F .\/ G ) ) |
32 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
cdleme15 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( S .\/ T ) ./\ ( F .\/ G ) ) .<_ W ) |
33 |
13 3
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ ( S .\/ T ) e. ( Base ` K ) /\ ( F .\/ G ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( S .\/ T ) ./\ ( F .\/ G ) ) e. ( Base ` K ) ) |
34 |
10 15 29 33
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( S .\/ T ) ./\ ( F .\/ G ) ) e. ( Base ` K ) ) |
35 |
|
simp11r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> W e. H ) |
36 |
13 5
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) ) |
37 |
35 36
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> W e. ( Base ` K ) ) |
38 |
13 1 3
|
latlem12 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( ( ( S .\/ T ) ./\ ( F .\/ G ) ) e. ( Base ` K ) /\ ( F .\/ G ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( ( ( S .\/ T ) ./\ ( F .\/ G ) ) .<_ ( F .\/ G ) /\ ( ( S .\/ T ) ./\ ( F .\/ G ) ) .<_ W ) <-> ( ( S .\/ T ) ./\ ( F .\/ G ) ) .<_ ( ( F .\/ G ) ./\ W ) ) ) |
39 |
10 34 29 37 38
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( ( ( S .\/ T ) ./\ ( F .\/ G ) ) .<_ ( F .\/ G ) /\ ( ( S .\/ T ) ./\ ( F .\/ G ) ) .<_ W ) <-> ( ( S .\/ T ) ./\ ( F .\/ G ) ) .<_ ( ( F .\/ G ) ./\ W ) ) ) |
40 |
31 32 39
|
mpbi2and |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( S .\/ T ) ./\ ( F .\/ G ) ) .<_ ( ( F .\/ G ) ./\ W ) ) |
41 |
|
hlatl |
|- ( K e. HL -> K e. AtLat ) |
42 |
9 41
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> K e. AtLat ) |
43 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
cdleme16d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( S .\/ T ) ./\ ( F .\/ G ) ) e. A ) |
44 |
1 2 3 4 5 6 7
|
cdleme3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. F .<_ W ) |
45 |
16 17 18 19 20 21 44
|
syl132anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> -. F .<_ W ) |
46 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
cdleme16b |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> F =/= G ) |
47 |
1 2 3 4 5
|
lhpat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. A /\ -. F .<_ W ) /\ ( G e. A /\ F =/= G ) ) -> ( ( F .\/ G ) ./\ W ) e. A ) |
48 |
16 23 45 27 46 47
|
syl122anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( F .\/ G ) ./\ W ) e. A ) |
49 |
1 4
|
atcmp |
|- ( ( K e. AtLat /\ ( ( S .\/ T ) ./\ ( F .\/ G ) ) e. A /\ ( ( F .\/ G ) ./\ W ) e. A ) -> ( ( ( S .\/ T ) ./\ ( F .\/ G ) ) .<_ ( ( F .\/ G ) ./\ W ) <-> ( ( S .\/ T ) ./\ ( F .\/ G ) ) = ( ( F .\/ G ) ./\ W ) ) ) |
50 |
42 43 48 49
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( ( S .\/ T ) ./\ ( F .\/ G ) ) .<_ ( ( F .\/ G ) ./\ W ) <-> ( ( S .\/ T ) ./\ ( F .\/ G ) ) = ( ( F .\/ G ) ./\ W ) ) ) |
51 |
40 50
|
mpbid |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> ( ( S .\/ T ) ./\ ( F .\/ G ) ) = ( ( F .\/ G ) ./\ W ) ) |