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Theorem cdlemk50

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Line 6, p. 120. G , I stand for g, h. X represents tau. TODO: Combine into cdlemk52 ? (Contributed by NM, 23-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk5.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemk5.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemk5.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemk5.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemk5.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemk5.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemk5.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemk5.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemk5.z 
|- Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
cdlemk5.y 
|- Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
cdlemk5.x 
|- X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
Assertion cdlemk50 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) .<_ ( ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ I / g ]_ X ) ) ./\ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ G / g ]_ X ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk5.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemk5.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemk5.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemk5.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdlemk5.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemk5.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdlemk5.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8 cdlemk5.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
9 cdlemk5.z 
 |-  Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
10 cdlemk5.y 
 |-  Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
11 cdlemk5.x 
 |-  X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk49 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) .<_ ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ I / g ]_ X ) ) )
13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk48 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) .<_ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ G / g ]_ X ) ) )
14 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> K e. HL )
15 14 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> K e. Lat )
16 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
17 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) )
18 simp13 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) )
19 simp21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> N e. T )
20 simp22 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
21 simp23 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( R ` F ) = ( R ` N ) )
22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35s 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> [_ G / g ]_ X e. T )
23 16 17 18 19 20 21 22 syl132anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> [_ G / g ]_ X e. T )
24 simp3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) )
25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35s 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> [_ I / g ]_ X e. T )
26 16 17 24 19 20 21 25 syl132anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> [_ I / g ]_ X e. T )
27 6 7 ltrnco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ [_ G / g ]_ X e. T /\ [_ I / g ]_ X e. T ) -> ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) e. T )
28 16 23 26 27 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) e. T )
29 simp22l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> P e. A )
30 2 5 6 7 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) e. T /\ P e. A ) -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) e. A )
31 16 28 29 30 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) e. A )
32 1 5 atbase 
 |-  ( ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) e. A -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) e. B )
33 31 32 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) e. B )
34 2 5 6 7 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ [_ G / g ]_ X e. T /\ P e. A ) -> ( [_ G / g ]_ X ` P ) e. A )
35 16 23 29 34 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( [_ G / g ]_ X ` P ) e. A )
36 1 5 atbase 
 |-  ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) e. A -> ( [_ G / g ]_ X ` P ) e. B )
37 35 36 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( [_ G / g ]_ X ` P ) e. B )
38 1 6 7 8 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ [_ I / g ]_ X e. T ) -> ( R ` [_ I / g ]_ X ) e. B )
39 16 26 38 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( R ` [_ I / g ]_ X ) e. B )
40 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( [_ G / g ]_ X ` P ) e. B /\ ( R ` [_ I / g ]_ X ) e. B ) -> ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ I / g ]_ X ) ) e. B )
41 15 37 39 40 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ I / g ]_ X ) ) e. B )
42 2 5 6 7 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ [_ I / g ]_ X e. T /\ P e. A ) -> ( [_ I / g ]_ X ` P ) e. A )
43 16 26 29 42 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( [_ I / g ]_ X ` P ) e. A )
44 1 5 atbase 
 |-  ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) e. A -> ( [_ I / g ]_ X ` P ) e. B )
45 43 44 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( [_ I / g ]_ X ` P ) e. B )
46 1 6 7 8 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ [_ G / g ]_ X e. T ) -> ( R ` [_ G / g ]_ X ) e. B )
47 16 23 46 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( R ` [_ G / g ]_ X ) e. B )
48 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( [_ I / g ]_ X ` P ) e. B /\ ( R ` [_ G / g ]_ X ) e. B ) -> ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ G / g ]_ X ) ) e. B )
49 15 45 47 48 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ G / g ]_ X ) ) e. B )
50 1 2 4 latlem12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) e. B /\ ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ I / g ]_ X ) ) e. B /\ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ G / g ]_ X ) ) e. B ) ) -> ( ( ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) .<_ ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ I / g ]_ X ) ) /\ ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) .<_ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ G / g ]_ X ) ) ) <-> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) .<_ ( ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ I / g ]_ X ) ) ./\ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ G / g ]_ X ) ) ) ) )
51 15 33 41 49 50 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( ( ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) .<_ ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ I / g ]_ X ) ) /\ ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) .<_ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ G / g ]_ X ) ) ) <-> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) .<_ ( ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ I / g ]_ X ) ) ./\ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ G / g ]_ X ) ) ) ) )
52 12 13 51 mpbi2and 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) .<_ ( ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ I / g ]_ X ) ) ./\ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ G / g ]_ X ) ) ) )