Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemk5.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
cdlemk5.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
cdlemk5.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
cdlemk5.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
5 |
|
cdlemk5.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
6 |
|
cdlemk5.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
7 |
|
cdlemk5.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
8 |
|
cdlemk5.r |
|- R = ( ( trL ` K ) ` W ) |
9 |
|
cdlemk5.z |
|- Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) ) |
10 |
|
cdlemk5.y |
|- Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) ) |
11 |
|
cdlemk5.x |
|- X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) ) |
12 |
|
simp11l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> K e. HL ) |
13 |
12
|
hllatd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> K e. Lat ) |
14 |
|
simp11 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
15 |
|
simp12 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) ) |
16 |
|
simp13 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) |
17 |
|
simp21 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> N e. T ) |
18 |
|
simp22 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
19 |
|
simp23 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( R ` F ) = ( R ` N ) ) |
20 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
cdlemk35s |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> [_ G / g ]_ X e. T ) |
21 |
14 15 16 17 18 19 20
|
syl132anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> [_ G / g ]_ X e. T ) |
22 |
|
simp31 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> I e. T ) |
23 |
|
simp32 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> I =/= ( _I |` B ) ) |
24 |
22 23
|
jca |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) |
25 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
cdlemk35s |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> [_ I / g ]_ X e. T ) |
26 |
14 15 24 17 18 19 25
|
syl132anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> [_ I / g ]_ X e. T ) |
27 |
6 7
|
ltrnco |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ [_ G / g ]_ X e. T /\ [_ I / g ]_ X e. T ) -> ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) e. T ) |
28 |
14 21 26 27
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) e. T ) |
29 |
|
simp22l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> P e. A ) |
30 |
2 5 6 7
|
ltrnat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) e. T /\ P e. A ) -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) e. A ) |
31 |
14 28 29 30
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) e. A ) |
32 |
1 5
|
atbase |
|- ( ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) e. A -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) e. B ) |
33 |
31 32
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) e. B ) |
34 |
2 5 6 7
|
ltrnat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ [_ G / g ]_ X e. T /\ P e. A ) -> ( [_ G / g ]_ X ` P ) e. A ) |
35 |
14 21 29 34
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( [_ G / g ]_ X ` P ) e. A ) |
36 |
1 5
|
atbase |
|- ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) e. A -> ( [_ G / g ]_ X ` P ) e. B ) |
37 |
35 36
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( [_ G / g ]_ X ` P ) e. B ) |
38 |
1 6 7 8
|
trlcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ [_ I / g ]_ X e. T ) -> ( R ` [_ I / g ]_ X ) e. B ) |
39 |
14 26 38
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( R ` [_ I / g ]_ X ) e. B ) |
40 |
1 3
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ ( [_ G / g ]_ X ` P ) e. B /\ ( R ` [_ I / g ]_ X ) e. B ) -> ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ I / g ]_ X ) ) e. B ) |
41 |
13 37 39 40
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ I / g ]_ X ) ) e. B ) |
42 |
2 5 6 7
|
ltrnat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ [_ I / g ]_ X e. T /\ P e. A ) -> ( [_ I / g ]_ X ` P ) e. A ) |
43 |
14 26 29 42
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( [_ I / g ]_ X ` P ) e. A ) |
44 |
1 5
|
atbase |
|- ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) e. A -> ( [_ I / g ]_ X ` P ) e. B ) |
45 |
43 44
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( [_ I / g ]_ X ` P ) e. B ) |
46 |
1 6 7 8
|
trlcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ [_ G / g ]_ X e. T ) -> ( R ` [_ G / g ]_ X ) e. B ) |
47 |
14 21 46
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( R ` [_ G / g ]_ X ) e. B ) |
48 |
1 3
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ ( [_ I / g ]_ X ` P ) e. B /\ ( R ` [_ G / g ]_ X ) e. B ) -> ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ G / g ]_ X ) ) e. B ) |
49 |
13 45 47 48
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ G / g ]_ X ) ) e. B ) |
50 |
1 4
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ I / g ]_ X ) ) e. B /\ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ G / g ]_ X ) ) e. B ) -> ( ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ I / g ]_ X ) ) ./\ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ G / g ]_ X ) ) ) e. B ) |
51 |
13 41 49 50
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ I / g ]_ X ) ) ./\ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ G / g ]_ X ) ) ) e. B ) |
52 |
|
simp11r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> W e. H ) |
53 |
1 5 6 7 8
|
trlnidat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) -> ( R ` I ) e. A ) |
54 |
12 52 22 23 53
|
syl211anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( R ` I ) e. A ) |
55 |
1 3 5
|
hlatjcl |
|- ( ( K e. HL /\ ( [_ G / g ]_ X ` P ) e. A /\ ( R ` I ) e. A ) -> ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) e. B ) |
56 |
12 35 54 55
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) e. B ) |
57 |
|
simp13l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> G e. T ) |
58 |
|
simp13r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> G =/= ( _I |` B ) ) |
59 |
1 5 6 7 8
|
trlnidat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) -> ( R ` G ) e. A ) |
60 |
12 52 57 58 59
|
syl211anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( R ` G ) e. A ) |
61 |
1 3 5
|
hlatjcl |
|- ( ( K e. HL /\ ( [_ I / g ]_ X ` P ) e. A /\ ( R ` G ) e. A ) -> ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` G ) ) e. B ) |
62 |
12 43 60 61
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` G ) ) e. B ) |
63 |
1 4
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) e. B /\ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` G ) ) e. B ) -> ( ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) ./\ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` G ) ) ) e. B ) |
64 |
13 56 62 63
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) ./\ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` G ) ) ) e. B ) |
65 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
cdlemk50 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) .<_ ( ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ I / g ]_ X ) ) ./\ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ G / g ]_ X ) ) ) ) |
66 |
24 65
|
syld3an3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) .<_ ( ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ I / g ]_ X ) ) ./\ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ G / g ]_ X ) ) ) ) |
67 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
cdlemk51 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ I / g ]_ X ) ) ./\ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ G / g ]_ X ) ) ) .<_ ( ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) ./\ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` G ) ) ) ) |
68 |
24 67
|
syld3an3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ I / g ]_ X ) ) ./\ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` [_ G / g ]_ X ) ) ) .<_ ( ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) ./\ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` G ) ) ) ) |
69 |
1 2 13 33 51 64 66 68
|
lattrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) .<_ ( ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) ./\ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` G ) ) ) ) |
70 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
cdlemk47 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) = ( ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) ./\ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` G ) ) ) ) |
71 |
69 70
|
breqtrrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) .<_ ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) ) |
72 |
|
hlatl |
|- ( K e. HL -> K e. AtLat ) |
73 |
12 72
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> K e. AtLat ) |
74 |
6 7
|
ltrnco |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ I e. T ) -> ( G o. I ) e. T ) |
75 |
14 57 22 74
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( G o. I ) e. T ) |
76 |
57 22
|
jca |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( G e. T /\ I e. T ) ) |
77 |
|
simp33 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) |
78 |
1 6 7 8
|
trlconid |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ I e. T ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) -> ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) |
79 |
14 76 77 78
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) |
80 |
75 79
|
jca |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( ( G o. I ) e. T /\ ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) ) |
81 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
cdlemk35s |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( ( G o. I ) e. T /\ ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X e. T ) |
82 |
14 15 80 17 18 19 81
|
syl132anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X e. T ) |
83 |
2 5 6 7
|
ltrnat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ [_ ( G o. I ) / g ]_ X e. T /\ P e. A ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) e. A ) |
84 |
14 82 29 83
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) e. A ) |
85 |
2 5
|
atcmp |
|- ( ( K e. AtLat /\ ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) e. A /\ ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) e. A ) -> ( ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) .<_ ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) <-> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) = ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) ) ) |
86 |
73 31 84 85
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) .<_ ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) <-> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) = ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) ) ) |
87 |
71 86
|
mpbid |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) ` P ) = ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) ) |