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Theorem cdlemk52

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Line 6, p. 120. G , I stand for g, h. X represents tau. (Contributed by NM, 23-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk5.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk5.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk5.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk5.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk5.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk5.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk5.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.z 𝑍 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) )
cdlemk5.y 𝑌 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑔 ) ) ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 𝑏 ) ) ) )
cdlemk5.x 𝑋 = ( 𝑧𝑇𝑏𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝑔 ) ) → ( 𝑧𝑃 ) = 𝑌 ) )
Assertion cdlemk52 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋𝑃 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk5.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk5.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk5.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk5.m = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk5.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk5.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk5.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk5.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk5.z 𝑍 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) )
10 cdlemk5.y 𝑌 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑔 ) ) ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 𝑏 ) ) ) )
11 cdlemk5.x 𝑋 = ( 𝑧𝑇𝑏𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝑔 ) ) → ( 𝑧𝑃 ) = 𝑌 ) )
12 simp11l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
13 12 hllatd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
14 simp11 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
15 simp12 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
16 simp13 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
17 simp21 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → 𝑁𝑇 )
18 simp22 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
19 simp23 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) )
20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35s ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ) → 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑇 )
21 14 15 16 17 18 19 20 syl132anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑇 )
22 simp31 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → 𝐼𝑇 )
23 simp32 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
24 22 23 jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35s ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ) → 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑇 )
26 14 15 24 17 18 19 25 syl132anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑇 )
27 6 7 ltrnco ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑇 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑇 ) → ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ∈ 𝑇 )
28 14 21 26 27 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ∈ 𝑇 )
29 simp22l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → 𝑃𝐴 )
30 2 5 6 7 ltrnat ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ∈ 𝑇𝑃𝐴 ) → ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
31 14 28 29 30 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
32 1 5 atbase ( ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
33 31 32 syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
34 2 5 6 7 ltrnat ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑇𝑃𝐴 ) → ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ∈ 𝐴 )
35 14 21 29 34 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ∈ 𝐴 )
36 1 5 atbase ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ∈ 𝐴 → ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ∈ 𝐵 )
37 35 36 syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ∈ 𝐵 )
38 1 6 7 8 trlcl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑇 ) → ( 𝑅 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
39 14 26 38 syl2anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝑅 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
40 1 3 latjcl ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 )
41 13 37 39 40 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 )
42 2 5 6 7 ltrnat ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑇𝑃𝐴 ) → ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ∈ 𝐴 )
43 14 26 29 42 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ∈ 𝐴 )
44 1 5 atbase ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ∈ 𝐴 → ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ∈ 𝐵 )
45 43 44 syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ∈ 𝐵 )
46 1 6 7 8 trlcl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑇 ) → ( 𝑅 𝐺 / 𝑔 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
47 14 21 46 syl2anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝑅 𝐺 / 𝑔 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
48 1 3 latjcl ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 𝐺 / 𝑔 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 𝐺 / 𝑔 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 )
49 13 45 47 48 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 𝐺 / 𝑔 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 )
50 1 4 latmcl ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 𝐺 / 𝑔 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ) ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 𝐺 / 𝑔 𝑋 ) ) ) ∈ 𝐵 )
51 13 41 49 50 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ) ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 𝐺 / 𝑔 𝑋 ) ) ) ∈ 𝐵 )
52 simp11r ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → 𝑊𝐻 )
53 1 5 6 7 8 trlnidat ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝑅𝐼 ) ∈ 𝐴 )
54 12 52 22 23 53 syl211anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝑅𝐼 ) ∈ 𝐴 )
55 1 3 5 hlatjcl ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅𝐼 ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅𝐼 ) ) ∈ 𝐵 )
56 12 35 54 55 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅𝐼 ) ) ∈ 𝐵 )
57 simp13l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → 𝐺𝑇 )
58 simp13r ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
59 1 5 6 7 8 trlnidat ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝑅𝐺 ) ∈ 𝐴 )
60 12 52 57 58 59 syl211anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝑅𝐺 ) ∈ 𝐴 )
61 1 3 5 hlatjcl ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅𝐺 ) ) ∈ 𝐵 )
62 12 43 60 61 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅𝐺 ) ) ∈ 𝐵 )
63 1 4 latmcl ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅𝐼 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅𝐼 ) ) ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅𝐺 ) ) ) ∈ 𝐵 )
64 13 56 62 63 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅𝐼 ) ) ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅𝐺 ) ) ) ∈ 𝐵 )
65 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk50 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ( ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ) ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 𝐺 / 𝑔 𝑋 ) ) ) )
66 24 65 syld3an3 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ( ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ) ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 𝐺 / 𝑔 𝑋 ) ) ) )
67 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk51 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ) ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 𝐺 / 𝑔 𝑋 ) ) ) ( ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅𝐼 ) ) ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅𝐺 ) ) ) )
68 24 67 syld3an3 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ) ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 𝐺 / 𝑔 𝑋 ) ) ) ( ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅𝐼 ) ) ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅𝐺 ) ) ) )
69 1 2 13 33 51 64 66 68 lattrd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ( ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅𝐼 ) ) ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅𝐺 ) ) ) )
70 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk47 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋𝑃 ) = ( ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅𝐼 ) ) ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅𝐺 ) ) ) )
71 69 70 breqtrrd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ( ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋𝑃 ) )
72 hlatl ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat )
73 12 72 syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → 𝐾 ∈ AtLat )
74 6 7 ltrnco ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) → ( 𝐺𝐼 ) ∈ 𝑇 )
75 14 57 22 74 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝐺𝐼 ) ∈ 𝑇 )
76 57 22 jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) )
77 simp33 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) )
78 1 6 7 8 trlconid ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) → ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
79 14 76 77 78 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
80 75 79 jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( ( 𝐺𝐼 ) ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
81 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35s ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐺𝐼 ) ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ) → ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋𝑇 )
82 14 15 80 17 18 19 81 syl132anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋𝑇 )
83 2 5 6 7 ltrnat ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋𝑇𝑃𝐴 ) → ( ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋𝑃 ) ∈ 𝐴 )
84 14 82 29 83 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋𝑃 ) ∈ 𝐴 )
85 2 5 atcmp ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ( ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋𝑃 ) ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ( ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋𝑃 ) ↔ ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋𝑃 ) ) )
86 73 31 84 85 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ( ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋𝑃 ) ↔ ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋𝑃 ) ) )
87 71 86 mpbid ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋𝑃 ) )