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Theorem cdlemn9

Description: Part of proof of Lemma N of Crawley p. 121 line 36. (Contributed by NM, 27-Feb-2014)

Ref Expression
Hypotheses cdlemn8.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemn8.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemn8.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemn8.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemn8.p 
|- P = ( ( oc ` K ) ` W )
cdlemn8.o 
|- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
cdlemn8.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemn8.e 
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
cdlemn8.u 
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
cdlemn8.s 
|- .+ = ( +g ` U )
cdlemn8.f 
|- F = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = Q )
cdlemn8.g 
|- G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = R )
Assertion cdlemn9 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( g ` Q ) = R )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemn8.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemn8.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemn8.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
4 cdlemn8.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
5 cdlemn8.p 
 |-  P = ( ( oc ` K ) ` W )
6 cdlemn8.o 
 |-  O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
7 cdlemn8.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8 cdlemn8.e 
 |-  E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
9 cdlemn8.u 
 |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
10 cdlemn8.s 
 |-  .+ = ( +g ` U )
11 cdlemn8.f 
 |-  F = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = Q )
12 cdlemn8.g 
 |-  G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = R )
13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 cdlemn8 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> g = ( G o. `' F ) )
14 13 fveq1d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( g ` Q ) = ( ( G o. `' F ) ` Q ) )
15 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
16 2 3 4 5 lhpocnel2 
 |-  ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
17 16 3ad2ant1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
18 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
19 2 3 4 7 11 ltrniotacl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F e. T )
20 15 17 18 19 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> F e. T )
21 1 4 7 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F : B -1-1-onto-> B )
22 15 20 21 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> F : B -1-1-onto-> B )
23 f1ocnv 
 |-  ( F : B -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> B )
24 f1of 
 |-  ( `' F : B -1-1-onto-> B -> `' F : B --> B )
25 22 23 24 3syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> `' F : B --> B )
26 simp2ll 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> Q e. A )
27 1 3 atbase 
 |-  ( Q e. A -> Q e. B )
28 26 27 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> Q e. B )
29 fvco3 
 |-  ( ( `' F : B --> B /\ Q e. B ) -> ( ( G o. `' F ) ` Q ) = ( G ` ( `' F ` Q ) ) )
30 25 28 29 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( ( G o. `' F ) ` Q ) = ( G ` ( `' F ` Q ) ) )
31 2 3 4 7 11 ltrniotacnvval 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( `' F ` Q ) = P )
32 15 17 18 31 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( `' F ` Q ) = P )
33 32 fveq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( G ` ( `' F ` Q ) ) = ( G ` P ) )
34 simp2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) )
35 2 3 4 7 12 ltrniotaval 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( G ` P ) = R )
36 15 17 34 35 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( G ` P ) = R )
37 33 36 eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( G ` ( `' F ` Q ) ) = R )
38 14 30 37 3eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( g ` Q ) = R )