Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
iscmp.1 |
|- X = U. J |
2 |
|
dfss3 |
|- ( X C_ U. { y e. J | ph } <-> A. x e. X x e. U. { y e. J | ph } ) |
3 |
|
elunirab |
|- ( x e. U. { y e. J | ph } <-> E. y e. J ( x e. y /\ ph ) ) |
4 |
3
|
ralbii |
|- ( A. x e. X x e. U. { y e. J | ph } <-> A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ ph ) ) |
5 |
2 4
|
sylbbr |
|- ( A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ ph ) -> X C_ U. { y e. J | ph } ) |
6 |
|
ssrab2 |
|- { y e. J | ph } C_ J |
7 |
6
|
unissi |
|- U. { y e. J | ph } C_ U. J |
8 |
7 1
|
sseqtrri |
|- U. { y e. J | ph } C_ X |
9 |
8
|
a1i |
|- ( A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ ph ) -> U. { y e. J | ph } C_ X ) |
10 |
5 9
|
eqssd |
|- ( A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ ph ) -> X = U. { y e. J | ph } ) |
11 |
1
|
cmpcov |
|- ( ( J e. Comp /\ { y e. J | ph } C_ J /\ X = U. { y e. J | ph } ) -> E. s e. ( ~P { y e. J | ph } i^i Fin ) X = U. s ) |
12 |
6 11
|
mp3an2 |
|- ( ( J e. Comp /\ X = U. { y e. J | ph } ) -> E. s e. ( ~P { y e. J | ph } i^i Fin ) X = U. s ) |
13 |
10 12
|
sylan2 |
|- ( ( J e. Comp /\ A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ ph ) ) -> E. s e. ( ~P { y e. J | ph } i^i Fin ) X = U. s ) |
14 |
|
ssrab |
|- ( s C_ { y e. J | ph } <-> ( s C_ J /\ A. y e. s ph ) ) |
15 |
14
|
anbi1i |
|- ( ( s C_ { y e. J | ph } /\ X = U. s ) <-> ( ( s C_ J /\ A. y e. s ph ) /\ X = U. s ) ) |
16 |
|
an32 |
|- ( ( ( s C_ J /\ A. y e. s ph ) /\ X = U. s ) <-> ( ( s C_ J /\ X = U. s ) /\ A. y e. s ph ) ) |
17 |
|
anass |
|- ( ( ( s C_ J /\ X = U. s ) /\ A. y e. s ph ) <-> ( s C_ J /\ ( X = U. s /\ A. y e. s ph ) ) ) |
18 |
15 16 17
|
3bitri |
|- ( ( s C_ { y e. J | ph } /\ X = U. s ) <-> ( s C_ J /\ ( X = U. s /\ A. y e. s ph ) ) ) |
19 |
18
|
anbi1i |
|- ( ( ( s C_ { y e. J | ph } /\ X = U. s ) /\ s e. Fin ) <-> ( ( s C_ J /\ ( X = U. s /\ A. y e. s ph ) ) /\ s e. Fin ) ) |
20 |
|
an32 |
|- ( ( ( s C_ { y e. J | ph } /\ s e. Fin ) /\ X = U. s ) <-> ( ( s C_ { y e. J | ph } /\ X = U. s ) /\ s e. Fin ) ) |
21 |
|
an32 |
|- ( ( ( s C_ J /\ s e. Fin ) /\ ( X = U. s /\ A. y e. s ph ) ) <-> ( ( s C_ J /\ ( X = U. s /\ A. y e. s ph ) ) /\ s e. Fin ) ) |
22 |
19 20 21
|
3bitr4i |
|- ( ( ( s C_ { y e. J | ph } /\ s e. Fin ) /\ X = U. s ) <-> ( ( s C_ J /\ s e. Fin ) /\ ( X = U. s /\ A. y e. s ph ) ) ) |
23 |
|
elfpw |
|- ( s e. ( ~P { y e. J | ph } i^i Fin ) <-> ( s C_ { y e. J | ph } /\ s e. Fin ) ) |
24 |
23
|
anbi1i |
|- ( ( s e. ( ~P { y e. J | ph } i^i Fin ) /\ X = U. s ) <-> ( ( s C_ { y e. J | ph } /\ s e. Fin ) /\ X = U. s ) ) |
25 |
|
elfpw |
|- ( s e. ( ~P J i^i Fin ) <-> ( s C_ J /\ s e. Fin ) ) |
26 |
25
|
anbi1i |
|- ( ( s e. ( ~P J i^i Fin ) /\ ( X = U. s /\ A. y e. s ph ) ) <-> ( ( s C_ J /\ s e. Fin ) /\ ( X = U. s /\ A. y e. s ph ) ) ) |
27 |
22 24 26
|
3bitr4i |
|- ( ( s e. ( ~P { y e. J | ph } i^i Fin ) /\ X = U. s ) <-> ( s e. ( ~P J i^i Fin ) /\ ( X = U. s /\ A. y e. s ph ) ) ) |
28 |
27
|
rexbii2 |
|- ( E. s e. ( ~P { y e. J | ph } i^i Fin ) X = U. s <-> E. s e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. s /\ A. y e. s ph ) ) |
29 |
13 28
|
sylib |
|- ( ( J e. Comp /\ A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ ph ) ) -> E. s e. ( ~P J i^i Fin ) ( X = U. s /\ A. y e. s ph ) ) |