Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
usgrexi.p |
|- P = { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 } |
2 |
1
|
usgrexi |
|- ( V e. W -> <. V , ( _I |` P ) >. e. USGraph ) |
3 |
1
|
cusgrexilem1 |
|- ( V e. W -> ( _I |` P ) e. _V ) |
4 |
|
opvtxfv |
|- ( ( V e. W /\ ( _I |` P ) e. _V ) -> ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = V ) |
5 |
4
|
eqcomd |
|- ( ( V e. W /\ ( _I |` P ) e. _V ) -> V = ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) ) |
6 |
3 5
|
mpdan |
|- ( V e. W -> V = ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) ) |
7 |
6
|
eleq2d |
|- ( V e. W -> ( v e. V <-> v e. ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) ) ) |
8 |
7
|
biimpa |
|- ( ( V e. W /\ v e. V ) -> v e. ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) ) |
9 |
|
eldifi |
|- ( n e. ( V \ { v } ) -> n e. V ) |
10 |
9
|
adantl |
|- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> n e. V ) |
11 |
3 4
|
mpdan |
|- ( V e. W -> ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = V ) |
12 |
11
|
eleq2d |
|- ( V e. W -> ( n e. ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) <-> n e. V ) ) |
13 |
12
|
ad2antrr |
|- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> ( n e. ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) <-> n e. V ) ) |
14 |
10 13
|
mpbird |
|- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> n e. ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) ) |
15 |
|
simplr |
|- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> v e. V ) |
16 |
11
|
eleq2d |
|- ( V e. W -> ( v e. ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) <-> v e. V ) ) |
17 |
16
|
ad2antrr |
|- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> ( v e. ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) <-> v e. V ) ) |
18 |
15 17
|
mpbird |
|- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> v e. ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) ) |
19 |
14 18
|
jca |
|- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> ( n e. ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) /\ v e. ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) ) ) |
20 |
|
eldifsni |
|- ( n e. ( V \ { v } ) -> n =/= v ) |
21 |
20
|
adantl |
|- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> n =/= v ) |
22 |
1
|
cusgrexilem2 |
|- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> E. e e. ran ( _I |` P ) { v , n } C_ e ) |
23 |
|
edgval |
|- ( Edg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = ran ( iEdg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) |
24 |
|
opiedgfv |
|- ( ( V e. W /\ ( _I |` P ) e. _V ) -> ( iEdg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = ( _I |` P ) ) |
25 |
3 24
|
mpdan |
|- ( V e. W -> ( iEdg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = ( _I |` P ) ) |
26 |
25
|
rneqd |
|- ( V e. W -> ran ( iEdg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = ran ( _I |` P ) ) |
27 |
23 26
|
syl5eq |
|- ( V e. W -> ( Edg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = ran ( _I |` P ) ) |
28 |
27
|
rexeqdv |
|- ( V e. W -> ( E. e e. ( Edg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) { v , n } C_ e <-> E. e e. ran ( _I |` P ) { v , n } C_ e ) ) |
29 |
28
|
ad2antrr |
|- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> ( E. e e. ( Edg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) { v , n } C_ e <-> E. e e. ran ( _I |` P ) { v , n } C_ e ) ) |
30 |
22 29
|
mpbird |
|- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> E. e e. ( Edg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) { v , n } C_ e ) |
31 |
|
eqid |
|- ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) |
32 |
|
eqid |
|- ( Edg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = ( Edg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) |
33 |
31 32
|
nbgrel |
|- ( n e. ( <. V , ( _I |` P ) >. NeighbVtx v ) <-> ( ( n e. ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) /\ v e. ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) ) /\ n =/= v /\ E. e e. ( Edg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) { v , n } C_ e ) ) |
34 |
19 21 30 33
|
syl3anbrc |
|- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> n e. ( <. V , ( _I |` P ) >. NeighbVtx v ) ) |
35 |
34
|
ralrimiva |
|- ( ( V e. W /\ v e. V ) -> A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( <. V , ( _I |` P ) >. NeighbVtx v ) ) |
36 |
11
|
adantr |
|- ( ( V e. W /\ v e. V ) -> ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = V ) |
37 |
36
|
difeq1d |
|- ( ( V e. W /\ v e. V ) -> ( ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) \ { v } ) = ( V \ { v } ) ) |
38 |
37
|
raleqdv |
|- ( ( V e. W /\ v e. V ) -> ( A. n e. ( ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) \ { v } ) n e. ( <. V , ( _I |` P ) >. NeighbVtx v ) <-> A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( <. V , ( _I |` P ) >. NeighbVtx v ) ) ) |
39 |
35 38
|
mpbird |
|- ( ( V e. W /\ v e. V ) -> A. n e. ( ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) \ { v } ) n e. ( <. V , ( _I |` P ) >. NeighbVtx v ) ) |
40 |
31
|
uvtxel |
|- ( v e. ( UnivVtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) <-> ( v e. ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) /\ A. n e. ( ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) \ { v } ) n e. ( <. V , ( _I |` P ) >. NeighbVtx v ) ) ) |
41 |
8 39 40
|
sylanbrc |
|- ( ( V e. W /\ v e. V ) -> v e. ( UnivVtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) ) |
42 |
41
|
ralrimiva |
|- ( V e. W -> A. v e. V v e. ( UnivVtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) ) |
43 |
11
|
raleqdv |
|- ( V e. W -> ( A. v e. ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) v e. ( UnivVtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) <-> A. v e. V v e. ( UnivVtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) ) ) |
44 |
42 43
|
mpbird |
|- ( V e. W -> A. v e. ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) v e. ( UnivVtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) ) |
45 |
|
opex |
|- <. V , ( _I |` P ) >. e. _V |
46 |
31
|
iscplgr |
|- ( <. V , ( _I |` P ) >. e. _V -> ( <. V , ( _I |` P ) >. e. ComplGraph <-> A. v e. ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) v e. ( UnivVtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) ) ) |
47 |
45 46
|
mp1i |
|- ( V e. W -> ( <. V , ( _I |` P ) >. e. ComplGraph <-> A. v e. ( Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) v e. ( UnivVtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) ) ) |
48 |
44 47
|
mpbird |
|- ( V e. W -> <. V , ( _I |` P ) >. e. ComplGraph ) |
49 |
|
iscusgr |
|- ( <. V , ( _I |` P ) >. e. ComplUSGraph <-> ( <. V , ( _I |` P ) >. e. USGraph /\ <. V , ( _I |` P ) >. e. ComplGraph ) ) |
50 |
2 48 49
|
sylanbrc |
|- ( V e. W -> <. V , ( _I |` P ) >. e. ComplUSGraph ) |