Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
usgrexi.p |
⊢ 𝑃 = { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) = 2 } |
2 |
1
|
usgrexi |
⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ∈ USGraph ) |
3 |
1
|
cusgrexilem1 |
⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → ( I ↾ 𝑃 ) ∈ V ) |
4 |
|
opvtxfv |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ( I ↾ 𝑃 ) ∈ V ) → ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) = 𝑉 ) |
5 |
4
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ( I ↾ 𝑃 ) ∈ V ) → 𝑉 = ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ) |
6 |
3 5
|
mpdan |
⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → 𝑉 = ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ) |
7 |
6
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → ( 𝑣 ∈ 𝑉 ↔ 𝑣 ∈ ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ) ) |
8 |
7
|
biimpa |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) → 𝑣 ∈ ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ) |
9 |
|
eldifi |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 𝑉 ∖ { 𝑣 } ) → 𝑛 ∈ 𝑉 ) |
10 |
9
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑉 ∖ { 𝑣 } ) ) → 𝑛 ∈ 𝑉 ) |
11 |
3 4
|
mpdan |
⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) = 𝑉 ) |
12 |
11
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → ( 𝑛 ∈ ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ↔ 𝑛 ∈ 𝑉 ) ) |
13 |
12
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑉 ∖ { 𝑣 } ) ) → ( 𝑛 ∈ ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ↔ 𝑛 ∈ 𝑉 ) ) |
14 |
10 13
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑉 ∖ { 𝑣 } ) ) → 𝑛 ∈ ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ) |
15 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑉 ∖ { 𝑣 } ) ) → 𝑣 ∈ 𝑉 ) |
16 |
11
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → ( 𝑣 ∈ ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ↔ 𝑣 ∈ 𝑉 ) ) |
17 |
16
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑉 ∖ { 𝑣 } ) ) → ( 𝑣 ∈ ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ↔ 𝑣 ∈ 𝑉 ) ) |
18 |
15 17
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑉 ∖ { 𝑣 } ) ) → 𝑣 ∈ ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ) |
19 |
14 18
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑉 ∖ { 𝑣 } ) ) → ( 𝑛 ∈ ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ∧ 𝑣 ∈ ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ) ) |
20 |
|
eldifsni |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 𝑉 ∖ { 𝑣 } ) → 𝑛 ≠ 𝑣 ) |
21 |
20
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑉 ∖ { 𝑣 } ) ) → 𝑛 ≠ 𝑣 ) |
22 |
1
|
cusgrexilem2 |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑉 ∖ { 𝑣 } ) ) → ∃ 𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃 ) { 𝑣 , 𝑛 } ⊆ 𝑒 ) |
23 |
|
edgval |
⊢ ( Edg ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) = ran ( iEdg ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) |
24 |
|
opiedgfv |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ( I ↾ 𝑃 ) ∈ V ) → ( iEdg ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) = ( I ↾ 𝑃 ) ) |
25 |
3 24
|
mpdan |
⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → ( iEdg ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) = ( I ↾ 𝑃 ) ) |
26 |
25
|
rneqd |
⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → ran ( iEdg ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) = ran ( I ↾ 𝑃 ) ) |
27 |
23 26
|
syl5eq |
⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → ( Edg ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) = ran ( I ↾ 𝑃 ) ) |
28 |
27
|
rexeqdv |
⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → ( ∃ 𝑒 ∈ ( Edg ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) { 𝑣 , 𝑛 } ⊆ 𝑒 ↔ ∃ 𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃 ) { 𝑣 , 𝑛 } ⊆ 𝑒 ) ) |
29 |
28
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑉 ∖ { 𝑣 } ) ) → ( ∃ 𝑒 ∈ ( Edg ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) { 𝑣 , 𝑛 } ⊆ 𝑒 ↔ ∃ 𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃 ) { 𝑣 , 𝑛 } ⊆ 𝑒 ) ) |
30 |
22 29
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑉 ∖ { 𝑣 } ) ) → ∃ 𝑒 ∈ ( Edg ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) { 𝑣 , 𝑛 } ⊆ 𝑒 ) |
31 |
|
eqid |
⊢ ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) = ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) |
32 |
|
eqid |
⊢ ( Edg ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) = ( Edg ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) |
33 |
31 32
|
nbgrel |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 NeighbVtx 𝑣 ) ↔ ( ( 𝑛 ∈ ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ∧ 𝑣 ∈ ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃ 𝑒 ∈ ( Edg ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) { 𝑣 , 𝑛 } ⊆ 𝑒 ) ) |
34 |
19 21 30 33
|
syl3anbrc |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑉 ∖ { 𝑣 } ) ) → 𝑛 ∈ ( 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 NeighbVtx 𝑣 ) ) |
35 |
34
|
ralrimiva |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑉 ∖ { 𝑣 } ) 𝑛 ∈ ( 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 NeighbVtx 𝑣 ) ) |
36 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) → ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) = 𝑉 ) |
37 |
36
|
difeq1d |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) → ( ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ∖ { 𝑣 } ) = ( 𝑉 ∖ { 𝑣 } ) ) |
38 |
37
|
raleqdv |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ∖ { 𝑣 } ) 𝑛 ∈ ( 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 NeighbVtx 𝑣 ) ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 𝑉 ∖ { 𝑣 } ) 𝑛 ∈ ( 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 NeighbVtx 𝑣 ) ) ) |
39 |
35 38
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ∖ { 𝑣 } ) 𝑛 ∈ ( 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 NeighbVtx 𝑣 ) ) |
40 |
31
|
uvtxel |
⊢ ( 𝑣 ∈ ( UnivVtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ↔ ( 𝑣 ∈ ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ∖ { 𝑣 } ) 𝑛 ∈ ( 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 NeighbVtx 𝑣 ) ) ) |
41 |
8 39 40
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ) → 𝑣 ∈ ( UnivVtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ) |
42 |
41
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → ∀ 𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ ( UnivVtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ) |
43 |
11
|
raleqdv |
⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → ( ∀ 𝑣 ∈ ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) 𝑣 ∈ ( UnivVtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ↔ ∀ 𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ ( UnivVtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ) ) |
44 |
42 43
|
mpbird |
⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → ∀ 𝑣 ∈ ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) 𝑣 ∈ ( UnivVtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ) |
45 |
|
opex |
⊢ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ∈ V |
46 |
31
|
iscplgr |
⊢ ( 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ∈ V → ( 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ∈ ComplGraph ↔ ∀ 𝑣 ∈ ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) 𝑣 ∈ ( UnivVtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ) ) |
47 |
45 46
|
mp1i |
⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → ( 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ∈ ComplGraph ↔ ∀ 𝑣 ∈ ( Vtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) 𝑣 ∈ ( UnivVtx ‘ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ) ) ) |
48 |
44 47
|
mpbird |
⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ∈ ComplGraph ) |
49 |
|
iscusgr |
⊢ ( 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ∈ ComplUSGraph ↔ ( 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ∈ USGraph ∧ 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ∈ ComplGraph ) ) |
50 |
2 48 49
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → 〈 𝑉 , ( I ↾ 𝑃 ) 〉 ∈ ComplUSGraph ) |