Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nnre |
|- ( N e. NN -> N e. RR ) |
2 |
1
|
3ad2ant2 |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> N e. RR ) |
3 |
|
eluzelre |
|- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. RR ) |
4 |
3
|
3ad2ant1 |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> B e. RR ) |
5 |
|
eluz2nn |
|- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. NN ) |
6 |
|
nnnn0 |
|- ( B e. NN -> B e. NN0 ) |
7 |
6
|
nn0ge0d |
|- ( B e. NN -> 0 <_ B ) |
8 |
5 7
|
syl |
|- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 <_ B ) |
9 |
8
|
3ad2ant1 |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ B ) |
10 |
|
nnrp |
|- ( N e. NN -> N e. RR+ ) |
11 |
|
relogbzcl |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. RR+ ) -> ( B logb N ) e. RR ) |
12 |
10 11
|
sylan2 |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( B logb N ) e. RR ) |
13 |
12
|
3adant3 |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( B logb N ) e. RR ) |
14 |
4 9 13
|
recxpcld |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( B ^c ( B logb N ) ) e. RR ) |
15 |
|
eluzelre |
|- ( K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) -> K e. RR ) |
16 |
15
|
3ad2ant3 |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> K e. RR ) |
17 |
4 9 16
|
recxpcld |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( B ^c K ) e. RR ) |
18 |
1
|
leidd |
|- ( N e. NN -> N <_ N ) |
19 |
18
|
adantl |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> N <_ N ) |
20 |
|
eluz2cnn0n1 |
|- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) ) |
21 |
|
nncn |
|- ( N e. NN -> N e. CC ) |
22 |
|
nnne0 |
|- ( N e. NN -> N =/= 0 ) |
23 |
|
eldifsn |
|- ( N e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) ) |
24 |
21 22 23
|
sylanbrc |
|- ( N e. NN -> N e. ( CC \ { 0 } ) ) |
25 |
|
cxplogb |
|- ( ( B e. ( CC \ { 0 , 1 } ) /\ N e. ( CC \ { 0 } ) ) -> ( B ^c ( B logb N ) ) = N ) |
26 |
20 24 25
|
syl2an |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( B ^c ( B logb N ) ) = N ) |
27 |
19 26
|
breqtrrd |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> N <_ ( B ^c ( B logb N ) ) ) |
28 |
27
|
3adant3 |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> N <_ ( B ^c ( B logb N ) ) ) |
29 |
|
eluz2 |
|- ( K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) <-> ( ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) <_ K ) ) |
30 |
12
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) ) -> ( B logb N ) e. RR ) |
31 |
|
flltp1 |
|- ( ( B logb N ) e. RR -> ( B logb N ) < ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) |
32 |
30 31
|
syl |
|- ( ( ( ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) ) -> ( B logb N ) < ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) |
33 |
|
zre |
|- ( ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) e. ZZ -> ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) e. RR ) |
34 |
33
|
adantr |
|- ( ( ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) e. RR ) |
35 |
34
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) ) -> ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) e. RR ) |
36 |
|
zre |
|- ( K e. ZZ -> K e. RR ) |
37 |
36
|
adantl |
|- ( ( ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K e. RR ) |
38 |
37
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) ) -> K e. RR ) |
39 |
|
ltletr |
|- ( ( ( B logb N ) e. RR /\ ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) e. RR /\ K e. RR ) -> ( ( ( B logb N ) < ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) /\ ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) <_ K ) -> ( B logb N ) < K ) ) |
40 |
30 35 38 39
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) ) -> ( ( ( B logb N ) < ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) /\ ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) <_ K ) -> ( B logb N ) < K ) ) |
41 |
32 40
|
mpand |
|- ( ( ( ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) ) -> ( ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) <_ K -> ( B logb N ) < K ) ) |
42 |
41
|
ex |
|- ( ( ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) <_ K -> ( B logb N ) < K ) ) ) |
43 |
42
|
com23 |
|- ( ( ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) <_ K -> ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( B logb N ) < K ) ) ) |
44 |
43
|
3impia |
|- ( ( ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) <_ K ) -> ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( B logb N ) < K ) ) |
45 |
44
|
com12 |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) <_ K ) -> ( B logb N ) < K ) ) |
46 |
29 45
|
syl5bi |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) -> ( B logb N ) < K ) ) |
47 |
46
|
3impia |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( B logb N ) < K ) |
48 |
|
eluz2gt1 |
|- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < B ) |
49 |
3 48
|
jca |
|- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( B e. RR /\ 1 < B ) ) |
50 |
49
|
3ad2ant1 |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( B e. RR /\ 1 < B ) ) |
51 |
|
cxplt |
|- ( ( ( B e. RR /\ 1 < B ) /\ ( ( B logb N ) e. RR /\ K e. RR ) ) -> ( ( B logb N ) < K <-> ( B ^c ( B logb N ) ) < ( B ^c K ) ) ) |
52 |
50 13 16 51
|
syl12anc |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( B logb N ) < K <-> ( B ^c ( B logb N ) ) < ( B ^c K ) ) ) |
53 |
47 52
|
mpbid |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( B ^c ( B logb N ) ) < ( B ^c K ) ) |
54 |
2 14 17 28 53
|
lelttrd |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> N < ( B ^c K ) ) |
55 |
|
eluzelcn |
|- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. CC ) |
56 |
55
|
3ad2ant1 |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> B e. CC ) |
57 |
|
eluz2n0 |
|- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B =/= 0 ) |
58 |
57
|
3ad2ant1 |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> B =/= 0 ) |
59 |
|
eluzelz |
|- ( K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) -> K e. ZZ ) |
60 |
59
|
3ad2ant3 |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> K e. ZZ ) |
61 |
|
cxpexpz |
|- ( ( B e. CC /\ B =/= 0 /\ K e. ZZ ) -> ( B ^c K ) = ( B ^ K ) ) |
62 |
61
|
breq2d |
|- ( ( B e. CC /\ B =/= 0 /\ K e. ZZ ) -> ( N < ( B ^c K ) <-> N < ( B ^ K ) ) ) |
63 |
56 58 60 62
|
syl3anc |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( N < ( B ^c K ) <-> N < ( B ^ K ) ) ) |
64 |
54 63
|
mpbid |
|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> N < ( B ^ K ) ) |