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Theorem dihmeetlem20N

Description: Lemma for isomorphism H of a lattice meet. (Contributed by NM, 7-Apr-2014) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses dihmeetlem14.b 
|- B = ( Base ` K )
dihmeetlem14.l 
|- .<_ = ( le ` K )
dihmeetlem14.h 
|- H = ( LHyp ` K )
dihmeetlem14.j 
|- .\/ = ( join ` K )
dihmeetlem14.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
dihmeetlem14.a 
|- A = ( Atoms ` K )
dihmeetlem14.u 
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dihmeetlem14.s 
|- .(+) = ( LSSum ` U )
dihmeetlem14.i 
|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
Assertion dihmeetlem20N 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dihmeetlem14.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 dihmeetlem14.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 dihmeetlem14.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
4 dihmeetlem14.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
5 dihmeetlem14.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
6 dihmeetlem14.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
7 dihmeetlem14.u 
 |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
8 dihmeetlem14.s 
 |-  .(+) = ( LSSum ` U )
9 dihmeetlem14.i 
 |-  I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
10 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
11 simp2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( X e. B /\ -. X .<_ W ) )
12 simp3ll 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> Y e. B )
13 simp3r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( X ./\ Y ) .<_ W )
14 1 2 4 5 6 3 lhpmcvr6N 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> E. q e. A ( -. q .<_ W /\ -. q .<_ Y /\ q .<_ X ) )
15 10 11 12 13 14 syl112anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> E. q e. A ( -. q .<_ W /\ -. q .<_ Y /\ q .<_ X ) )
16 simp3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) )
17 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> X e. B )
18 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> K e. HL )
19 18 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> K e. Lat )
20 1 5 latmcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y ./\ X ) = ( X ./\ Y ) )
21 19 12 17 20 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( Y ./\ X ) = ( X ./\ Y ) )
22 21 13 eqbrtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( Y ./\ X ) .<_ W )
23 1 2 4 5 6 3 lhpmcvr6N 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X e. B /\ ( Y ./\ X ) .<_ W ) ) -> E. r e. A ( -. r .<_ W /\ -. r .<_ X /\ r .<_ Y ) )
24 10 16 17 22 23 syl112anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> E. r e. A ( -. r .<_ W /\ -. r .<_ X /\ r .<_ Y ) )
25 reeanv 
 |-  ( E. q e. A E. r e. A ( ( -. q .<_ W /\ -. q .<_ Y /\ q .<_ X ) /\ ( -. r .<_ W /\ -. r .<_ X /\ r .<_ Y ) ) <-> ( E. q e. A ( -. q .<_ W /\ -. q .<_ Y /\ q .<_ X ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ -. r .<_ X /\ r .<_ Y ) ) )
26 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ ( q e. A /\ r e. A ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ -. q .<_ Y /\ q .<_ X ) /\ ( -. r .<_ W /\ -. r .<_ X /\ r .<_ Y ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
27 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ ( q e. A /\ r e. A ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ -. q .<_ Y /\ q .<_ X ) /\ ( -. r .<_ W /\ -. r .<_ X /\ r .<_ Y ) ) ) -> ( X e. B /\ -. X .<_ W ) )
28 12 3ad2ant1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ ( q e. A /\ r e. A ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ -. q .<_ Y /\ q .<_ X ) /\ ( -. r .<_ W /\ -. r .<_ X /\ r .<_ Y ) ) ) -> Y e. B )
29 simp2l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ ( q e. A /\ r e. A ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ -. q .<_ Y /\ q .<_ X ) /\ ( -. r .<_ W /\ -. r .<_ X /\ r .<_ Y ) ) ) -> q e. A )
30 simp3l1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ ( q e. A /\ r e. A ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ -. q .<_ Y /\ q .<_ X ) /\ ( -. r .<_ W /\ -. r .<_ X /\ r .<_ Y ) ) ) -> -. q .<_ W )
31 29 30 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ ( q e. A /\ r e. A ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ -. q .<_ Y /\ q .<_ X ) /\ ( -. r .<_ W /\ -. r .<_ X /\ r .<_ Y ) ) ) -> ( q e. A /\ -. q .<_ W ) )
32 simp2r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ ( q e. A /\ r e. A ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ -. q .<_ Y /\ q .<_ X ) /\ ( -. r .<_ W /\ -. r .<_ X /\ r .<_ Y ) ) ) -> r e. A )
33 simp3r1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ ( q e. A /\ r e. A ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ -. q .<_ Y /\ q .<_ X ) /\ ( -. r .<_ W /\ -. r .<_ X /\ r .<_ Y ) ) ) -> -. r .<_ W )
34 32 33 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ ( q e. A /\ r e. A ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ -. q .<_ Y /\ q .<_ X ) /\ ( -. r .<_ W /\ -. r .<_ X /\ r .<_ Y ) ) ) -> ( r e. A /\ -. r .<_ W ) )
35 simp3l3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ ( q e. A /\ r e. A ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ -. q .<_ Y /\ q .<_ X ) /\ ( -. r .<_ W /\ -. r .<_ X /\ r .<_ Y ) ) ) -> q .<_ X )
36 simp3r3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ ( q e. A /\ r e. A ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ -. q .<_ Y /\ q .<_ X ) /\ ( -. r .<_ W /\ -. r .<_ X /\ r .<_ Y ) ) ) -> r .<_ Y )
37 simp13r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ ( q e. A /\ r e. A ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ -. q .<_ Y /\ q .<_ X ) /\ ( -. r .<_ W /\ -. r .<_ X /\ r .<_ Y ) ) ) -> ( X ./\ Y ) .<_ W )
38 35 36 37 3jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ ( q e. A /\ r e. A ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ -. q .<_ Y /\ q .<_ X ) /\ ( -. r .<_ W /\ -. r .<_ X /\ r .<_ Y ) ) ) -> ( q .<_ X /\ r .<_ Y /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) )
39 1 2 3 4 5 6 7 8 9 dihmeetlem19N 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ Y e. B ) /\ ( ( q e. A /\ -. q .<_ W ) /\ ( r e. A /\ -. r .<_ W ) /\ ( q .<_ X /\ r .<_ Y /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )
40 26 27 28 31 34 38 39 syl33anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) /\ ( q e. A /\ r e. A ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ -. q .<_ Y /\ q .<_ X ) /\ ( -. r .<_ W /\ -. r .<_ X /\ r .<_ Y ) ) ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )
41 40 3exp 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( ( q e. A /\ r e. A ) -> ( ( ( -. q .<_ W /\ -. q .<_ Y /\ q .<_ X ) /\ ( -. r .<_ W /\ -. r .<_ X /\ r .<_ Y ) ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) ) ) )
42 41 rexlimdvv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( E. q e. A E. r e. A ( ( -. q .<_ W /\ -. q .<_ Y /\ q .<_ X ) /\ ( -. r .<_ W /\ -. r .<_ X /\ r .<_ Y ) ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) ) )
43 25 42 syl5bir 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( ( E. q e. A ( -. q .<_ W /\ -. q .<_ Y /\ q .<_ X ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ -. r .<_ X /\ r .<_ Y ) ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) ) )
44 15 24 43 mp2and 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) )