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Theorem dihord2a

Description: Part of proof after Lemma N of Crawley p. 122. Reverse ordering property. (Contributed by NM, 3-Mar-2014)

Ref Expression
Hypotheses dihjust.b 
|- B = ( Base ` K )
dihjust.l 
|- .<_ = ( le ` K )
dihjust.j 
|- .\/ = ( join ` K )
dihjust.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
dihjust.a 
|- A = ( Atoms ` K )
dihjust.h 
|- H = ( LHyp ` K )
dihjust.i 
|- I = ( ( DIsoB ` K ) ` W )
dihjust.J 
|- J = ( ( DIsoC ` K ) ` W )
dihjust.u 
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dihjust.s 
|- .(+) = ( LSSum ` U )
Assertion dihord2a 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> Q .<_ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dihjust.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 dihjust.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 dihjust.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 dihjust.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 dihjust.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 dihjust.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 dihjust.i 
 |-  I = ( ( DIsoB ` K ) ` W )
8 dihjust.J 
 |-  J = ( ( DIsoC ` K ) ` W )
9 dihjust.u 
 |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
10 dihjust.s 
 |-  .(+) = ( LSSum ` U )
11 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
12 6 9 11 dvhlmod 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> U e. LMod )
13 eqid 
 |-  ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
14 13 lsssssubg 
 |-  ( U e. LMod -> ( LSubSp ` U ) C_ ( SubGrp ` U ) )
15 12 14 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( LSubSp ` U ) C_ ( SubGrp ` U ) )
16 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
17 2 5 6 9 8 13 diclss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( J ` Q ) e. ( LSubSp ` U ) )
18 11 16 17 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( J ` Q ) e. ( LSubSp ` U ) )
19 15 18 sseldd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( J ` Q ) e. ( SubGrp ` U ) )
20 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> K e. HL )
21 20 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> K e. Lat )
22 simp2l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> X e. B )
23 simp11r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> W e. H )
24 1 6 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. B )
25 23 24 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> W e. B )
26 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X ./\ W ) e. B )
27 21 22 25 26 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( X ./\ W ) e. B )
28 1 2 4 latmle2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X ./\ W ) .<_ W )
29 21 22 25 28 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( X ./\ W ) .<_ W )
30 1 2 6 9 7 13 diblss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X ./\ W ) e. B /\ ( X ./\ W ) .<_ W ) ) -> ( I ` ( X ./\ W ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
31 11 27 29 30 syl12anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( I ` ( X ./\ W ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
32 15 31 sseldd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( I ` ( X ./\ W ) ) e. ( SubGrp ` U ) )
33 10 lsmub1 
 |-  ( ( ( J ` Q ) e. ( SubGrp ` U ) /\ ( I ` ( X ./\ W ) ) e. ( SubGrp ` U ) ) -> ( J ` Q ) C_ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) )
34 19 32 33 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( J ` Q ) C_ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) )
35 simp33 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) )
36 34 35 sstrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( J ` Q ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) )
37 simp13 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) )
38 simp2r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> Y e. B )
39 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ W e. B ) -> ( Y ./\ W ) e. B )
40 21 38 25 39 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( Y ./\ W ) e. B )
41 1 2 4 latmle2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ W e. B ) -> ( Y ./\ W ) .<_ W )
42 21 38 25 41 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( Y ./\ W ) .<_ W )
43 40 42 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( ( Y ./\ W ) e. B /\ ( Y ./\ W ) .<_ W ) )
44 1 2 3 5 6 7 8 9 10 cdlemn 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( ( Y ./\ W ) e. B /\ ( Y ./\ W ) .<_ W ) ) ) -> ( Q .<_ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) <-> ( J ` Q ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) )
45 11 37 16 43 44 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> ( Q .<_ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) <-> ( J ` Q ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) )
46 36 45 mpbird 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) -> Q .<_ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) )