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Theorem dochsscl

Description: If a set of vectors is included in a closed set, so is its closure. (Contributed by NM, 17-Jun-2015)

Ref Expression
Hypotheses dochsscl.h 
|- H = ( LHyp ` K )
dochsscl.u 
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dochsscl.v 
|- V = ( Base ` U )
dochsscl.i 
|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
dochsscl.o 
|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
dochsscl.k 
|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
dochsscl.x 
|- ( ph -> X C_ V )
dochsscl.y 
|- ( ph -> Y e. ran I )
Assertion dochsscl 
|- ( ph -> ( X C_ Y <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dochsscl.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 dochsscl.u 
 |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
3 dochsscl.v 
 |-  V = ( Base ` U )
4 dochsscl.i 
 |-  I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
5 dochsscl.o 
 |-  ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
6 dochsscl.k 
 |-  ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
7 dochsscl.x 
 |-  ( ph -> X C_ V )
8 dochsscl.y 
 |-  ( ph -> Y e. ran I )
9 6 adantr 
 |-  ( ( ph /\ X C_ Y ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
10 7 adantr 
 |-  ( ( ph /\ X C_ Y ) -> X C_ V )
11 1 2 3 5 dochssv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( ._|_ ` X ) C_ V )
12 9 10 11 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ X C_ Y ) -> ( ._|_ ` X ) C_ V )
13 1 2 4 3 dihrnss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y e. ran I ) -> Y C_ V )
14 6 8 13 syl2anc 
 |-  ( ph -> Y C_ V )
15 14 adantr 
 |-  ( ( ph /\ X C_ Y ) -> Y C_ V )
16 simpr 
 |-  ( ( ph /\ X C_ Y ) -> X C_ Y )
17 1 2 3 5 dochss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y C_ V /\ X C_ Y ) -> ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) )
18 9 15 16 17 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ X C_ Y ) -> ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) )
19 1 2 3 5 dochss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` X ) C_ V /\ ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) )
20 9 12 18 19 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ X C_ Y ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) )
21 8 adantr 
 |-  ( ( ph /\ X C_ Y ) -> Y e. ran I )
22 1 4 5 dochoc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y e. ran I ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
23 9 21 22 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ X C_ Y ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
24 20 23 sseqtrd 
 |-  ( ( ph /\ X C_ Y ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ Y )
25 1 2 3 5 dochocss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> X C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) )
26 6 7 25 syl2anc 
 |-  ( ph -> X C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) )
27 sstr 
 |-  ( ( X C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ Y ) -> X C_ Y )
28 26 27 sylan 
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ Y ) -> X C_ Y )
29 24 28 impbida 
 |-  ( ph -> ( X C_ Y <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ Y ) )