Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dvrdir.b |
|- B = ( Base ` R ) |
2 |
|
dvrdir.u |
|- U = ( Unit ` R ) |
3 |
|
dvrdir.p |
|- .+ = ( +g ` R ) |
4 |
|
dvrdir.t |
|- ./ = ( /r ` R ) |
5 |
|
simpl |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> R e. Ring ) |
6 |
|
simpr1 |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> X e. B ) |
7 |
|
simpr2 |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> Y e. B ) |
8 |
1 2
|
unitss |
|- U C_ B |
9 |
|
simpr3 |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> Z e. U ) |
10 |
|
eqid |
|- ( invr ` R ) = ( invr ` R ) |
11 |
2 10
|
unitinvcl |
|- ( ( R e. Ring /\ Z e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` Z ) e. U ) |
12 |
9 11
|
syldan |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( ( invr ` R ) ` Z ) e. U ) |
13 |
8 12
|
sselid |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( ( invr ` R ) ` Z ) e. B ) |
14 |
|
eqid |
|- ( .r ` R ) = ( .r ` R ) |
15 |
1 3 14
|
ringdir |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( ( invr ` R ) ` Z ) e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` Z ) ) = ( ( X ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` Z ) ) .+ ( Y ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` Z ) ) ) ) |
16 |
5 6 7 13 15
|
syl13anc |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( ( X .+ Y ) ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` Z ) ) = ( ( X ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` Z ) ) .+ ( Y ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` Z ) ) ) ) |
17 |
|
ringgrp |
|- ( R e. Ring -> R e. Grp ) |
18 |
17
|
adantr |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> R e. Grp ) |
19 |
1 3
|
grpcl |
|- ( ( R e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B ) |
20 |
18 6 7 19
|
syl3anc |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( X .+ Y ) e. B ) |
21 |
1 14 2 10 4
|
dvrval |
|- ( ( ( X .+ Y ) e. B /\ Z e. U ) -> ( ( X .+ Y ) ./ Z ) = ( ( X .+ Y ) ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` Z ) ) ) |
22 |
20 9 21
|
syl2anc |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( ( X .+ Y ) ./ Z ) = ( ( X .+ Y ) ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` Z ) ) ) |
23 |
1 14 2 10 4
|
dvrval |
|- ( ( X e. B /\ Z e. U ) -> ( X ./ Z ) = ( X ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` Z ) ) ) |
24 |
6 9 23
|
syl2anc |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( X ./ Z ) = ( X ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` Z ) ) ) |
25 |
1 14 2 10 4
|
dvrval |
|- ( ( Y e. B /\ Z e. U ) -> ( Y ./ Z ) = ( Y ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` Z ) ) ) |
26 |
7 9 25
|
syl2anc |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( Y ./ Z ) = ( Y ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` Z ) ) ) |
27 |
24 26
|
oveq12d |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( ( X ./ Z ) .+ ( Y ./ Z ) ) = ( ( X ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` Z ) ) .+ ( Y ( .r ` R ) ( ( invr ` R ) ` Z ) ) ) ) |
28 |
16 22 27
|
3eqtr4d |
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. U ) ) -> ( ( X .+ Y ) ./ Z ) = ( ( X ./ Z ) .+ ( Y ./ Z ) ) ) |