Theorem elold

Description: Membership in an old set. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024)

	Ref	Expression
Assertion	elold	|- ( A e. On -> ( X e. ( _Old ` A ) <-> E. b e. A X e. ( _M ` b ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oldval	|- ( A e. On -> ( _Old ` A ) = U. ( _M " A ) )
2	1	eleq2d	|- ( A e. On -> ( X e. ( _Old ` A ) <-> X e. U. ( _M " A ) ) )
3		eluni	|- ( X e. U. ( _M " A ) <-> E. y ( X e. y /\ y e. ( _M " A ) ) )
4		madef	|- _M : On --> ~P No
5		ffn	|- ( _M : On --> ~P No -> _M Fn On )
6	4 5	ax-mp	|- _M Fn On
7		onss	|- ( A e. On -> A C_ On )
8		fvelimab	|- ( ( _M Fn On /\ A C_ On ) -> ( y e. ( _M " A ) <-> E. b e. A ( _M ` b ) = y ) )
9	6 7 8	sylancr	|- ( A e. On -> ( y e. ( _M " A ) <-> E. b e. A ( _M ` b ) = y ) )
10	9	anbi2d	|- ( A e. On -> ( ( X e. y /\ y e. ( _M " A ) ) <-> ( X e. y /\ E. b e. A ( _M ` b ) = y ) ) )
11	10	exbidv	|- ( A e. On -> ( E. y ( X e. y /\ y e. ( _M " A ) ) <-> E. y ( X e. y /\ E. b e. A ( _M ` b ) = y ) ) )
12		fvex	|- ( _M ` b ) e. _V
13	12	clel3	|- ( X e. ( _M ` b ) <-> E. y ( y = ( _M ` b ) /\ X e. y ) )
14	13	rexbii	|- ( E. b e. A X e. ( _M ` b ) <-> E. b e. A E. y ( y = ( _M ` b ) /\ X e. y ) )
15		rexcom4	|- ( E. b e. A E. y ( y = ( _M ` b ) /\ X e. y ) <-> E. y E. b e. A ( y = ( _M ` b ) /\ X e. y ) )
16		eqcom	|- ( y = ( _M ` b ) <-> ( _M ` b ) = y )
17	16	anbi2ci	|- ( ( y = ( _M ` b ) /\ X e. y ) <-> ( X e. y /\ ( _M ` b ) = y ) )
18	17	rexbii	|- ( E. b e. A ( y = ( _M ` b ) /\ X e. y ) <-> E. b e. A ( X e. y /\ ( _M ` b ) = y ) )
19		r19.42v	|- ( E. b e. A ( X e. y /\ ( _M ` b ) = y ) <-> ( X e. y /\ E. b e. A ( _M ` b ) = y ) )
20	18 19	bitri	|- ( E. b e. A ( y = ( _M ` b ) /\ X e. y ) <-> ( X e. y /\ E. b e. A ( _M ` b ) = y ) )
21	20	exbii	|- ( E. y E. b e. A ( y = ( _M ` b ) /\ X e. y ) <-> E. y ( X e. y /\ E. b e. A ( _M ` b ) = y ) )
22	14 15 21	3bitrri	|- ( E. y ( X e. y /\ E. b e. A ( _M ` b ) = y ) <-> E. b e. A X e. ( _M ` b ) )
23	11 22	bitrdi	|- ( A e. On -> ( E. y ( X e. y /\ y e. ( _M " A ) ) <-> E. b e. A X e. ( _M ` b ) ) )
24	3 23	syl5bb	|- ( A e. On -> ( X e. U. ( _M " A ) <-> E. b e. A X e. ( _M ` b ) ) )
25	2 24	bitrd	|- ( A e. On -> ( X e. ( _Old ` A ) <-> E. b e. A X e. ( _M ` b ) ) )