Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpl |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> N e. NN0 ) |
2 |
|
nn0nnaddcl |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( N + M ) e. NN ) |
3 |
|
nnm1nn0 |
|- ( ( N + M ) e. NN -> ( ( N + M ) - 1 ) e. NN0 ) |
4 |
2 3
|
syl |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( ( N + M ) - 1 ) e. NN0 ) |
5 |
|
1red |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> 1 e. RR ) |
6 |
|
nnre |
|- ( M e. NN -> M e. RR ) |
7 |
6
|
adantl |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> M e. RR ) |
8 |
|
nn0re |
|- ( N e. NN0 -> N e. RR ) |
9 |
8
|
adantr |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> N e. RR ) |
10 |
|
nnge1 |
|- ( M e. NN -> 1 <_ M ) |
11 |
10
|
adantl |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> 1 <_ M ) |
12 |
5 7 9 11
|
leadd2dd |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( N + 1 ) <_ ( N + M ) ) |
13 |
|
readdcl |
|- ( ( N e. RR /\ M e. RR ) -> ( N + M ) e. RR ) |
14 |
8 6 13
|
syl2an |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( N + M ) e. RR ) |
15 |
|
leaddsub |
|- ( ( N e. RR /\ 1 e. RR /\ ( N + M ) e. RR ) -> ( ( N + 1 ) <_ ( N + M ) <-> N <_ ( ( N + M ) - 1 ) ) ) |
16 |
9 5 14 15
|
syl3anc |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( ( N + 1 ) <_ ( N + M ) <-> N <_ ( ( N + M ) - 1 ) ) ) |
17 |
12 16
|
mpbid |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> N <_ ( ( N + M ) - 1 ) ) |
18 |
|
elfz2nn0 |
|- ( N e. ( 0 ... ( ( N + M ) - 1 ) ) <-> ( N e. NN0 /\ ( ( N + M ) - 1 ) e. NN0 /\ N <_ ( ( N + M ) - 1 ) ) ) |
19 |
1 4 17 18
|
syl3anbrc |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> N e. ( 0 ... ( ( N + M ) - 1 ) ) ) |
20 |
|
fzfid |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( 0 ... ( ( N + M ) - 1 ) ) e. Fin ) |
21 |
|
fz0ssnn0 |
|- ( 0 ... ( ( N + M ) - 1 ) ) C_ NN0 |
22 |
21
|
a1i |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( 0 ... ( ( N + M ) - 1 ) ) C_ NN0 ) |
23 |
|
2nn0 |
|- 2 e. NN0 |
24 |
23
|
a1i |
|- ( n e. NN0 -> 2 e. NN0 ) |
25 |
|
id |
|- ( n e. NN0 -> n e. NN0 ) |
26 |
24 25
|
nn0expcld |
|- ( n e. NN0 -> ( 2 ^ n ) e. NN0 ) |
27 |
24 26
|
nn0expcld |
|- ( n e. NN0 -> ( 2 ^ ( 2 ^ n ) ) e. NN0 ) |
28 |
27
|
nn0zd |
|- ( n e. NN0 -> ( 2 ^ ( 2 ^ n ) ) e. ZZ ) |
29 |
28
|
peano2zd |
|- ( n e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ n ) ) + 1 ) e. ZZ ) |
30 |
29
|
adantl |
|- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ n ) ) + 1 ) e. ZZ ) |
31 |
|
df-fmtno |
|- FermatNo = ( n e. NN0 |-> ( ( 2 ^ ( 2 ^ n ) ) + 1 ) ) |
32 |
30 31
|
fmptd |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> FermatNo : NN0 --> ZZ ) |
33 |
20 22 32
|
fprodfvdvdsd |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> A. n e. ( 0 ... ( ( N + M ) - 1 ) ) ( FermatNo ` n ) || prod_ k e. ( 0 ... ( ( N + M ) - 1 ) ) ( FermatNo ` k ) ) |
34 |
|
fveq2 |
|- ( n = N -> ( FermatNo ` n ) = ( FermatNo ` N ) ) |
35 |
34
|
breq1d |
|- ( n = N -> ( ( FermatNo ` n ) || prod_ k e. ( 0 ... ( ( N + M ) - 1 ) ) ( FermatNo ` k ) <-> ( FermatNo ` N ) || prod_ k e. ( 0 ... ( ( N + M ) - 1 ) ) ( FermatNo ` k ) ) ) |
36 |
35
|
rspcv |
|- ( N e. ( 0 ... ( ( N + M ) - 1 ) ) -> ( A. n e. ( 0 ... ( ( N + M ) - 1 ) ) ( FermatNo ` n ) || prod_ k e. ( 0 ... ( ( N + M ) - 1 ) ) ( FermatNo ` k ) -> ( FermatNo ` N ) || prod_ k e. ( 0 ... ( ( N + M ) - 1 ) ) ( FermatNo ` k ) ) ) |
37 |
19 33 36
|
sylc |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( FermatNo ` N ) || prod_ k e. ( 0 ... ( ( N + M ) - 1 ) ) ( FermatNo ` k ) ) |
38 |
|
elfznn0 |
|- ( k e. ( 0 ... ( ( N + M ) - 1 ) ) -> k e. NN0 ) |
39 |
38
|
adantl |
|- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) /\ k e. ( 0 ... ( ( N + M ) - 1 ) ) ) -> k e. NN0 ) |
40 |
|
fmtnonn |
|- ( k e. NN0 -> ( FermatNo ` k ) e. NN ) |
41 |
39 40
|
syl |
|- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) /\ k e. ( 0 ... ( ( N + M ) - 1 ) ) ) -> ( FermatNo ` k ) e. NN ) |
42 |
41
|
nncnd |
|- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) /\ k e. ( 0 ... ( ( N + M ) - 1 ) ) ) -> ( FermatNo ` k ) e. CC ) |
43 |
20 42
|
fprodcl |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> prod_ k e. ( 0 ... ( ( N + M ) - 1 ) ) ( FermatNo ` k ) e. CC ) |
44 |
|
2cnd |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> 2 e. CC ) |
45 |
|
nn0cn |
|- ( N e. NN0 -> N e. CC ) |
46 |
|
nncn |
|- ( M e. NN -> M e. CC ) |
47 |
|
addcl |
|- ( ( N e. CC /\ M e. CC ) -> ( N + M ) e. CC ) |
48 |
45 46 47
|
syl2an |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( N + M ) e. CC ) |
49 |
|
npcan1 |
|- ( ( N + M ) e. CC -> ( ( ( N + M ) - 1 ) + 1 ) = ( N + M ) ) |
50 |
48 49
|
syl |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( ( ( N + M ) - 1 ) + 1 ) = ( N + M ) ) |
51 |
50
|
eqcomd |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( N + M ) = ( ( ( N + M ) - 1 ) + 1 ) ) |
52 |
51
|
fveq2d |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( FermatNo ` ( N + M ) ) = ( FermatNo ` ( ( ( N + M ) - 1 ) + 1 ) ) ) |
53 |
|
fmtnorec2 |
|- ( ( ( N + M ) - 1 ) e. NN0 -> ( FermatNo ` ( ( ( N + M ) - 1 ) + 1 ) ) = ( prod_ k e. ( 0 ... ( ( N + M ) - 1 ) ) ( FermatNo ` k ) + 2 ) ) |
54 |
4 53
|
syl |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( FermatNo ` ( ( ( N + M ) - 1 ) + 1 ) ) = ( prod_ k e. ( 0 ... ( ( N + M ) - 1 ) ) ( FermatNo ` k ) + 2 ) ) |
55 |
52 54
|
eqtrd |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( FermatNo ` ( N + M ) ) = ( prod_ k e. ( 0 ... ( ( N + M ) - 1 ) ) ( FermatNo ` k ) + 2 ) ) |
56 |
43 44 55
|
mvrraddd |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( ( FermatNo ` ( N + M ) ) - 2 ) = prod_ k e. ( 0 ... ( ( N + M ) - 1 ) ) ( FermatNo ` k ) ) |
57 |
37 56
|
breqtrrd |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) -> ( FermatNo ` N ) || ( ( FermatNo ` ( N + M ) ) - 2 ) ) |