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Theorem funcringcsetcALTV2lem8

Description: Lemma 8 for funcringcsetcALTV2 . (Contributed by AV, 15-Feb-2020) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses funcringcsetcALTV2.r 
|- R = ( RingCat ` U )
funcringcsetcALTV2.s 
|- S = ( SetCat ` U )
funcringcsetcALTV2.b 
|- B = ( Base ` R )
funcringcsetcALTV2.c 
|- C = ( Base ` S )
funcringcsetcALTV2.u 
|- ( ph -> U e. WUni )
funcringcsetcALTV2.f 
|- ( ph -> F = ( x e. B |-> ( Base ` x ) ) )
funcringcsetcALTV2.g 
|- ( ph -> G = ( x e. B , y e. B |-> ( _I |` ( x RingHom y ) ) ) )
Assertion funcringcsetcALTV2lem8 
|- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X G Y ) : ( X ( Hom ` R ) Y ) --> ( ( F ` X ) ( Hom ` S ) ( F ` Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 funcringcsetcALTV2.r 
 |-  R = ( RingCat ` U )
2 funcringcsetcALTV2.s 
 |-  S = ( SetCat ` U )
3 funcringcsetcALTV2.b 
 |-  B = ( Base ` R )
4 funcringcsetcALTV2.c 
 |-  C = ( Base ` S )
5 funcringcsetcALTV2.u 
 |-  ( ph -> U e. WUni )
6 funcringcsetcALTV2.f 
 |-  ( ph -> F = ( x e. B |-> ( Base ` x ) ) )
7 funcringcsetcALTV2.g 
 |-  ( ph -> G = ( x e. B , y e. B |-> ( _I |` ( x RingHom y ) ) ) )
8 f1oi 
 |-  ( _I |` ( X RingHom Y ) ) : ( X RingHom Y ) -1-1-onto-> ( X RingHom Y )
9 f1of 
 |-  ( ( _I |` ( X RingHom Y ) ) : ( X RingHom Y ) -1-1-onto-> ( X RingHom Y ) -> ( _I |` ( X RingHom Y ) ) : ( X RingHom Y ) --> ( X RingHom Y ) )
10 8 9 mp1i 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( _I |` ( X RingHom Y ) ) : ( X RingHom Y ) --> ( X RingHom Y ) )
11 eqid 
 |-  ( Base ` X ) = ( Base ` X )
12 eqid 
 |-  ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
13 11 12 rhmf 
 |-  ( f e. ( X RingHom Y ) -> f : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) )
14 fvex 
 |-  ( Base ` Y ) e. _V
15 fvex 
 |-  ( Base ` X ) e. _V
16 14 15 pm3.2i 
 |-  ( ( Base ` Y ) e. _V /\ ( Base ` X ) e. _V )
17 elmapg 
 |-  ( ( ( Base ` Y ) e. _V /\ ( Base ` X ) e. _V ) -> ( f e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) <-> f : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) ) )
18 17 bicomd 
 |-  ( ( ( Base ` Y ) e. _V /\ ( Base ` X ) e. _V ) -> ( f : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) <-> f e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) ) )
19 16 18 mp1i 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( f : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) <-> f e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) ) )
20 19 biimpa 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ f : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) ) -> f e. ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) )
21 simpr 
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
22 1 2 3 4 5 6 funcringcsetcALTV2lem1 
 |-  ( ( ph /\ Y e. B ) -> ( F ` Y ) = ( Base ` Y ) )
23 21 22 sylan2 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( F ` Y ) = ( Base ` Y ) )
24 simpl 
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
25 1 2 3 4 5 6 funcringcsetcALTV2lem1 
 |-  ( ( ph /\ X e. B ) -> ( F ` X ) = ( Base ` X ) )
26 24 25 sylan2 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( F ` X ) = ( Base ` X ) )
27 23 26 oveq12d 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( F ` Y ) ^m ( F ` X ) ) = ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) )
28 27 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ f : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) ) -> ( ( F ` Y ) ^m ( F ` X ) ) = ( ( Base ` Y ) ^m ( Base ` X ) ) )
29 20 28 eleqtrrd 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ f : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) ) -> f e. ( ( F ` Y ) ^m ( F ` X ) ) )
30 29 ex 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( f : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) -> f e. ( ( F ` Y ) ^m ( F ` X ) ) ) )
31 13 30 syl5 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( f e. ( X RingHom Y ) -> f e. ( ( F ` Y ) ^m ( F ` X ) ) ) )
32 31 ssrdv 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X RingHom Y ) C_ ( ( F ` Y ) ^m ( F ` X ) ) )
33 10 32 fssd 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( _I |` ( X RingHom Y ) ) : ( X RingHom Y ) --> ( ( F ` Y ) ^m ( F ` X ) ) )
34 1 2 3 4 5 6 7 funcringcsetcALTV2lem5 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X G Y ) = ( _I |` ( X RingHom Y ) ) )
35 5 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> U e. WUni )
36 eqid 
 |-  ( Hom ` R ) = ( Hom ` R )
37 24 adantl 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> X e. B )
38 21 adantl 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> Y e. B )
39 1 3 35 36 37 38 ringchom 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X ( Hom ` R ) Y ) = ( X RingHom Y ) )
40 eqid 
 |-  ( Hom ` S ) = ( Hom ` S )
41 1 2 3 4 5 6 funcringcsetcALTV2lem2 
 |-  ( ( ph /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. U )
42 24 41 sylan2 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( F ` X ) e. U )
43 1 2 3 4 5 6 funcringcsetcALTV2lem2 
 |-  ( ( ph /\ Y e. B ) -> ( F ` Y ) e. U )
44 21 43 sylan2 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( F ` Y ) e. U )
45 2 35 40 42 44 setchom 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( F ` X ) ( Hom ` S ) ( F ` Y ) ) = ( ( F ` Y ) ^m ( F ` X ) ) )
46 34 39 45 feq123d 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X G Y ) : ( X ( Hom ` R ) Y ) --> ( ( F ` X ) ( Hom ` S ) ( F ` Y ) ) <-> ( _I |` ( X RingHom Y ) ) : ( X RingHom Y ) --> ( ( F ` Y ) ^m ( F ` X ) ) ) )
47 33 46 mpbird 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X G Y ) : ( X ( Hom ` R ) Y ) --> ( ( F ` X ) ( Hom ` S ) ( F ` Y ) ) )