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Theorem funcringcsetcALTV2lem9

Description: Lemma 9 for funcringcsetcALTV2 . (Contributed by AV, 15-Feb-2020) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses funcringcsetcALTV2.r 
|- R = ( RingCat ` U )
funcringcsetcALTV2.s 
|- S = ( SetCat ` U )
funcringcsetcALTV2.b 
|- B = ( Base ` R )
funcringcsetcALTV2.c 
|- C = ( Base ` S )
funcringcsetcALTV2.u 
|- ( ph -> U e. WUni )
funcringcsetcALTV2.f 
|- ( ph -> F = ( x e. B |-> ( Base ` x ) ) )
funcringcsetcALTV2.g 
|- ( ph -> G = ( x e. B , y e. B |-> ( _I |` ( x RingHom y ) ) ) )
Assertion funcringcsetcALTV2lem9 
|- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( H e. ( X ( Hom ` R ) Y ) /\ K e. ( Y ( Hom ` R ) Z ) ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. ( comp ` R ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. ( comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 funcringcsetcALTV2.r 
 |-  R = ( RingCat ` U )
2 funcringcsetcALTV2.s 
 |-  S = ( SetCat ` U )
3 funcringcsetcALTV2.b 
 |-  B = ( Base ` R )
4 funcringcsetcALTV2.c 
 |-  C = ( Base ` S )
5 funcringcsetcALTV2.u 
 |-  ( ph -> U e. WUni )
6 funcringcsetcALTV2.f 
 |-  ( ph -> F = ( x e. B |-> ( Base ` x ) ) )
7 funcringcsetcALTV2.g 
 |-  ( ph -> G = ( x e. B , y e. B |-> ( _I |` ( x RingHom y ) ) ) )
8 5 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> U e. WUni )
9 eqid 
 |-  ( Hom ` R ) = ( Hom ` R )
10 simpr1 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
11 simpr2 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
12 1 3 8 9 10 11 ringchom 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X ( Hom ` R ) Y ) = ( X RingHom Y ) )
13 12 eleq2d 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( H e. ( X ( Hom ` R ) Y ) <-> H e. ( X RingHom Y ) ) )
14 simpr3 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
15 1 3 8 9 11 14 ringchom 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y ( Hom ` R ) Z ) = ( Y RingHom Z ) )
16 15 eleq2d 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( K e. ( Y ( Hom ` R ) Z ) <-> K e. ( Y RingHom Z ) ) )
17 13 16 anbi12d 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( H e. ( X ( Hom ` R ) Y ) /\ K e. ( Y ( Hom ` R ) Z ) ) <-> ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) )
18 rhmco 
 |-  ( ( K e. ( Y RingHom Z ) /\ H e. ( X RingHom Y ) ) -> ( K o. H ) e. ( X RingHom Z ) )
19 18 ancoms 
 |-  ( ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) -> ( K o. H ) e. ( X RingHom Z ) )
20 19 adantl 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( K o. H ) e. ( X RingHom Z ) )
21 fvresi 
 |-  ( ( K o. H ) e. ( X RingHom Z ) -> ( ( _I |` ( X RingHom Z ) ) ` ( K o. H ) ) = ( K o. H ) )
22 20 21 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( _I |` ( X RingHom Z ) ) ` ( K o. H ) ) = ( K o. H ) )
23 1 2 3 4 5 6 7 funcringcsetcALTV2lem5 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X G Z ) = ( _I |` ( X RingHom Z ) ) )
24 23 3adantr2 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X G Z ) = ( _I |` ( X RingHom Z ) ) )
25 24 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( X G Z ) = ( _I |` ( X RingHom Z ) ) )
26 8 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> U e. WUni )
27 eqid 
 |-  ( comp ` R ) = ( comp ` R )
28 1 3 5 ringcbas 
 |-  ( ph -> B = ( U i^i Ring ) )
29 inss1 
 |-  ( U i^i Ring ) C_ U
30 28 29 eqsstrdi 
 |-  ( ph -> B C_ U )
31 30 sseld 
 |-  ( ph -> ( X e. B -> X e. U ) )
32 31 com12 
 |-  ( X e. B -> ( ph -> X e. U ) )
33 32 3ad2ant1 
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ph -> X e. U ) )
34 33 impcom 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. U )
35 34 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> X e. U )
36 30 sseld 
 |-  ( ph -> ( Y e. B -> Y e. U ) )
37 36 com12 
 |-  ( Y e. B -> ( ph -> Y e. U ) )
38 37 3ad2ant2 
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ph -> Y e. U ) )
39 38 impcom 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. U )
40 39 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> Y e. U )
41 30 sseld 
 |-  ( ph -> ( Z e. B -> Z e. U ) )
42 41 com12 
 |-  ( Z e. B -> ( ph -> Z e. U ) )
43 42 3ad2ant3 
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ph -> Z e. U ) )
44 43 impcom 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. U )
45 44 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> Z e. U )
46 eqid 
 |-  ( Base ` X ) = ( Base ` X )
47 eqid 
 |-  ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
48 46 47 rhmf 
 |-  ( H e. ( X RingHom Y ) -> H : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) )
49 48 ad2antrl 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> H : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) )
50 eqid 
 |-  ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
51 47 50 rhmf 
 |-  ( K e. ( Y RingHom Z ) -> K : ( Base ` Y ) --> ( Base ` Z ) )
52 51 ad2antll 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> K : ( Base ` Y ) --> ( Base ` Z ) )
53 1 26 27 35 40 45 49 52 ringcco 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( K ( <. X , Y >. ( comp ` R ) Z ) H ) = ( K o. H ) )
54 25 53 fveq12d 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. ( comp ` R ) Z ) H ) ) = ( ( _I |` ( X RingHom Z ) ) ` ( K o. H ) ) )
55 eqid 
 |-  ( comp ` S ) = ( comp ` S )
56 1 2 3 4 5 6 funcringcsetcALTV2lem2 
 |-  ( ( ph /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. U )
57 56 3ad2antr1 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` X ) e. U )
58 57 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( F ` X ) e. U )
59 1 2 3 4 5 6 funcringcsetcALTV2lem2 
 |-  ( ( ph /\ Y e. B ) -> ( F ` Y ) e. U )
60 59 3ad2antr2 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` Y ) e. U )
61 60 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( F ` Y ) e. U )
62 1 2 3 4 5 6 funcringcsetcALTV2lem2 
 |-  ( ( ph /\ Z e. B ) -> ( F ` Z ) e. U )
63 62 3ad2antr3 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` Z ) e. U )
64 63 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( F ` Z ) e. U )
65 1 2 3 4 5 6 funcringcsetcALTV2lem1 
 |-  ( ( ph /\ X e. B ) -> ( F ` X ) = ( Base ` X ) )
66 65 3ad2antr1 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` X ) = ( Base ` X ) )
67 1 2 3 4 5 6 funcringcsetcALTV2lem1 
 |-  ( ( ph /\ Y e. B ) -> ( F ` Y ) = ( Base ` Y ) )
68 67 3ad2antr2 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` Y ) = ( Base ` Y ) )
69 66 68 feq23d 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( H : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) <-> H : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) ) )
70 69 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( H : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) <-> H : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) ) )
71 49 70 mpbird 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> H : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) )
72 simpll 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ph )
73 3simpa 
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )
74 73 ad2antlr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )
75 simprl 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> H e. ( X RingHom Y ) )
76 1 2 3 4 5 6 7 funcringcsetcALTV2lem6 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ H e. ( X RingHom Y ) ) -> ( ( X G Y ) ` H ) = H )
77 72 74 75 76 syl3anc 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( X G Y ) ` H ) = H )
78 77 feq1d 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( ( X G Y ) ` H ) : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) <-> H : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) ) )
79 71 78 mpbird 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( X G Y ) ` H ) : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) )
80 1 2 3 4 5 6 funcringcsetcALTV2lem1 
 |-  ( ( ph /\ Z e. B ) -> ( F ` Z ) = ( Base ` Z ) )
81 80 3ad2antr3 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` Z ) = ( Base ` Z ) )
82 68 81 feq23d 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( K : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) <-> K : ( Base ` Y ) --> ( Base ` Z ) ) )
83 82 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( K : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) <-> K : ( Base ` Y ) --> ( Base ` Z ) ) )
84 52 83 mpbird 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> K : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) )
85 3simpc 
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y e. B /\ Z e. B ) )
86 85 ad2antlr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( Y e. B /\ Z e. B ) )
87 simprr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> K e. ( Y RingHom Z ) )
88 1 2 3 4 5 6 7 funcringcsetcALTV2lem6 
 |-  ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) -> ( ( Y G Z ) ` K ) = K )
89 72 86 87 88 syl3anc 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( Y G Z ) ` K ) = K )
90 89 feq1d 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( ( Y G Z ) ` K ) : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) <-> K : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) ) )
91 84 90 mpbird 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( Y G Z ) ` K ) : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) )
92 2 26 55 58 61 64 79 91 setcco 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. ( comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) o. ( ( X G Y ) ` H ) ) )
93 89 77 coeq12d 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( ( Y G Z ) ` K ) o. ( ( X G Y ) ` H ) ) = ( K o. H ) )
94 92 93 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. ( comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) = ( K o. H ) )
95 22 54 94 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. ( comp ` R ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. ( comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) )
96 95 ex 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. ( comp ` R ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. ( comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) ) )
97 17 96 sylbid 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( H e. ( X ( Hom ` R ) Y ) /\ K e. ( Y ( Hom ` R ) Z ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. ( comp ` R ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. ( comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) ) )
98 97 3impia 
 |-  ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( H e. ( X ( Hom ` R ) Y ) /\ K e. ( Y ( Hom ` R ) Z ) ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. ( comp ` R ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. ( comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) )