Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
genp.1 |
|- F = ( w e. P. , v e. P. |-> { x | E. y e. w E. z e. v x = ( y G z ) } ) |
2 |
|
genp.2 |
|- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y G z ) e. Q. ) |
3 |
|
oveq1 |
|- ( f = A -> ( f F g ) = ( A F g ) ) |
4 |
|
rexeq |
|- ( f = A -> ( E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) <-> E. y e. A E. z e. g x = ( y G z ) ) ) |
5 |
4
|
abbidv |
|- ( f = A -> { x | E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) } = { x | E. y e. A E. z e. g x = ( y G z ) } ) |
6 |
3 5
|
eqeq12d |
|- ( f = A -> ( ( f F g ) = { x | E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) } <-> ( A F g ) = { x | E. y e. A E. z e. g x = ( y G z ) } ) ) |
7 |
|
oveq2 |
|- ( g = B -> ( A F g ) = ( A F B ) ) |
8 |
|
rexeq |
|- ( g = B -> ( E. z e. g x = ( y G z ) <-> E. z e. B x = ( y G z ) ) ) |
9 |
8
|
rexbidv |
|- ( g = B -> ( E. y e. A E. z e. g x = ( y G z ) <-> E. y e. A E. z e. B x = ( y G z ) ) ) |
10 |
9
|
abbidv |
|- ( g = B -> { x | E. y e. A E. z e. g x = ( y G z ) } = { x | E. y e. A E. z e. B x = ( y G z ) } ) |
11 |
7 10
|
eqeq12d |
|- ( g = B -> ( ( A F g ) = { x | E. y e. A E. z e. g x = ( y G z ) } <-> ( A F B ) = { x | E. y e. A E. z e. B x = ( y G z ) } ) ) |
12 |
|
elprnq |
|- ( ( f e. P. /\ y e. f ) -> y e. Q. ) |
13 |
|
elprnq |
|- ( ( g e. P. /\ z e. g ) -> z e. Q. ) |
14 |
|
eleq1 |
|- ( x = ( y G z ) -> ( x e. Q. <-> ( y G z ) e. Q. ) ) |
15 |
2 14
|
syl5ibrcom |
|- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( x = ( y G z ) -> x e. Q. ) ) |
16 |
12 13 15
|
syl2an |
|- ( ( ( f e. P. /\ y e. f ) /\ ( g e. P. /\ z e. g ) ) -> ( x = ( y G z ) -> x e. Q. ) ) |
17 |
16
|
an4s |
|- ( ( ( f e. P. /\ g e. P. ) /\ ( y e. f /\ z e. g ) ) -> ( x = ( y G z ) -> x e. Q. ) ) |
18 |
17
|
rexlimdvva |
|- ( ( f e. P. /\ g e. P. ) -> ( E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) -> x e. Q. ) ) |
19 |
18
|
abssdv |
|- ( ( f e. P. /\ g e. P. ) -> { x | E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) } C_ Q. ) |
20 |
|
nqex |
|- Q. e. _V |
21 |
|
ssexg |
|- ( ( { x | E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) } C_ Q. /\ Q. e. _V ) -> { x | E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) } e. _V ) |
22 |
19 20 21
|
sylancl |
|- ( ( f e. P. /\ g e. P. ) -> { x | E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) } e. _V ) |
23 |
|
rexeq |
|- ( w = f -> ( E. y e. w E. z e. v x = ( y G z ) <-> E. y e. f E. z e. v x = ( y G z ) ) ) |
24 |
23
|
abbidv |
|- ( w = f -> { x | E. y e. w E. z e. v x = ( y G z ) } = { x | E. y e. f E. z e. v x = ( y G z ) } ) |
25 |
|
rexeq |
|- ( v = g -> ( E. z e. v x = ( y G z ) <-> E. z e. g x = ( y G z ) ) ) |
26 |
25
|
rexbidv |
|- ( v = g -> ( E. y e. f E. z e. v x = ( y G z ) <-> E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) ) ) |
27 |
26
|
abbidv |
|- ( v = g -> { x | E. y e. f E. z e. v x = ( y G z ) } = { x | E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) } ) |
28 |
24 27 1
|
ovmpog |
|- ( ( f e. P. /\ g e. P. /\ { x | E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) } e. _V ) -> ( f F g ) = { x | E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) } ) |
29 |
22 28
|
mpd3an3 |
|- ( ( f e. P. /\ g e. P. ) -> ( f F g ) = { x | E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) } ) |
30 |
6 11 29
|
vtocl2ga |
|- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A F B ) = { x | E. y e. A E. z e. B x = ( y G z ) } ) |
31 |
|
eqeq1 |
|- ( x = f -> ( x = ( y G z ) <-> f = ( y G z ) ) ) |
32 |
31
|
2rexbidv |
|- ( x = f -> ( E. y e. A E. z e. B x = ( y G z ) <-> E. y e. A E. z e. B f = ( y G z ) ) ) |
33 |
|
oveq1 |
|- ( y = g -> ( y G z ) = ( g G z ) ) |
34 |
33
|
eqeq2d |
|- ( y = g -> ( f = ( y G z ) <-> f = ( g G z ) ) ) |
35 |
|
oveq2 |
|- ( z = h -> ( g G z ) = ( g G h ) ) |
36 |
35
|
eqeq2d |
|- ( z = h -> ( f = ( g G z ) <-> f = ( g G h ) ) ) |
37 |
34 36
|
cbvrex2vw |
|- ( E. y e. A E. z e. B f = ( y G z ) <-> E. g e. A E. h e. B f = ( g G h ) ) |
38 |
32 37
|
bitrdi |
|- ( x = f -> ( E. y e. A E. z e. B x = ( y G z ) <-> E. g e. A E. h e. B f = ( g G h ) ) ) |
39 |
38
|
cbvabv |
|- { x | E. y e. A E. z e. B x = ( y G z ) } = { f | E. g e. A E. h e. B f = ( g G h ) } |
40 |
30 39
|
eqtrdi |
|- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A F B ) = { f | E. g e. A E. h e. B f = ( g G h ) } ) |