Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sseq2 |
|- ( l = ( n i^i Z ) -> ( C C_ l <-> C C_ ( n i^i Z ) ) ) |
2 |
|
ineq1 |
|- ( l = ( n i^i Z ) -> ( l i^i k ) = ( ( n i^i Z ) i^i k ) ) |
3 |
2
|
eqeq1d |
|- ( l = ( n i^i Z ) -> ( ( l i^i k ) = (/) <-> ( ( n i^i Z ) i^i k ) = (/) ) ) |
4 |
1 3
|
3anbi13d |
|- ( l = ( n i^i Z ) -> ( ( C C_ l /\ D C_ k /\ ( l i^i k ) = (/) ) <-> ( C C_ ( n i^i Z ) /\ D C_ k /\ ( ( n i^i Z ) i^i k ) = (/) ) ) ) |
5 |
|
sseq2 |
|- ( k = ( m i^i Z ) -> ( D C_ k <-> D C_ ( m i^i Z ) ) ) |
6 |
|
ineq2 |
|- ( k = ( m i^i Z ) -> ( ( n i^i Z ) i^i k ) = ( ( n i^i Z ) i^i ( m i^i Z ) ) ) |
7 |
6
|
eqeq1d |
|- ( k = ( m i^i Z ) -> ( ( ( n i^i Z ) i^i k ) = (/) <-> ( ( n i^i Z ) i^i ( m i^i Z ) ) = (/) ) ) |
8 |
5 7
|
3anbi23d |
|- ( k = ( m i^i Z ) -> ( ( C C_ ( n i^i Z ) /\ D C_ k /\ ( ( n i^i Z ) i^i k ) = (/) ) <-> ( C C_ ( n i^i Z ) /\ D C_ ( m i^i Z ) /\ ( ( n i^i Z ) i^i ( m i^i Z ) ) = (/) ) ) ) |
9 |
|
simp11 |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( Z e. ~P U. J /\ C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) /\ D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) /\ ( n e. J /\ m e. J ) /\ ( C C_ n /\ D C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) -> J e. Top ) |
10 |
|
simp121 |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( Z e. ~P U. J /\ C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) /\ D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) /\ ( n e. J /\ m e. J ) /\ ( C C_ n /\ D C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) -> Z e. ~P U. J ) |
11 |
|
simp2l |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( Z e. ~P U. J /\ C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) /\ D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) /\ ( n e. J /\ m e. J ) /\ ( C C_ n /\ D C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) -> n e. J ) |
12 |
|
elrestr |
|- ( ( J e. Top /\ Z e. ~P U. J /\ n e. J ) -> ( n i^i Z ) e. ( J |`t Z ) ) |
13 |
9 10 11 12
|
syl3anc |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( Z e. ~P U. J /\ C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) /\ D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) /\ ( n e. J /\ m e. J ) /\ ( C C_ n /\ D C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) -> ( n i^i Z ) e. ( J |`t Z ) ) |
14 |
|
simp2r |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( Z e. ~P U. J /\ C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) /\ D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) /\ ( n e. J /\ m e. J ) /\ ( C C_ n /\ D C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) -> m e. J ) |
15 |
|
elrestr |
|- ( ( J e. Top /\ Z e. ~P U. J /\ m e. J ) -> ( m i^i Z ) e. ( J |`t Z ) ) |
16 |
9 10 14 15
|
syl3anc |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( Z e. ~P U. J /\ C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) /\ D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) /\ ( n e. J /\ m e. J ) /\ ( C C_ n /\ D C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) -> ( m i^i Z ) e. ( J |`t Z ) ) |
17 |
|
simp31 |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( Z e. ~P U. J /\ C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) /\ D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) /\ ( n e. J /\ m e. J ) /\ ( C C_ n /\ D C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) -> C C_ n ) |
18 |
|
eqidd |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( Z e. ~P U. J /\ C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) /\ D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) /\ ( n e. J /\ m e. J ) /\ ( C C_ n /\ D C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) -> U. J = U. J ) |
19 |
10
|
elpwid |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( Z e. ~P U. J /\ C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) /\ D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) /\ ( n e. J /\ m e. J ) /\ ( C C_ n /\ D C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) -> Z C_ U. J ) |
20 |
|
eqidd |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( Z e. ~P U. J /\ C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) /\ D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) /\ ( n e. J /\ m e. J ) /\ ( C C_ n /\ D C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) -> ( J |`t Z ) = ( J |`t Z ) ) |
21 |
|
simp122 |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( Z e. ~P U. J /\ C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) /\ D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) /\ ( n e. J /\ m e. J ) /\ ( C C_ n /\ D C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) -> C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) |
22 |
9 18 19 20 21
|
restcls2lem |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( Z e. ~P U. J /\ C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) /\ D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) /\ ( n e. J /\ m e. J ) /\ ( C C_ n /\ D C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) -> C C_ Z ) |
23 |
17 22
|
ssind |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( Z e. ~P U. J /\ C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) /\ D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) /\ ( n e. J /\ m e. J ) /\ ( C C_ n /\ D C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) -> C C_ ( n i^i Z ) ) |
24 |
|
simp32 |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( Z e. ~P U. J /\ C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) /\ D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) /\ ( n e. J /\ m e. J ) /\ ( C C_ n /\ D C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) -> D C_ m ) |
25 |
|
simp123 |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( Z e. ~P U. J /\ C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) /\ D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) /\ ( n e. J /\ m e. J ) /\ ( C C_ n /\ D C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) -> D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) |
26 |
9 18 19 20 25
|
restcls2lem |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( Z e. ~P U. J /\ C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) /\ D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) /\ ( n e. J /\ m e. J ) /\ ( C C_ n /\ D C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) -> D C_ Z ) |
27 |
24 26
|
ssind |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( Z e. ~P U. J /\ C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) /\ D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) /\ ( n e. J /\ m e. J ) /\ ( C C_ n /\ D C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) -> D C_ ( m i^i Z ) ) |
28 |
|
inss1 |
|- ( n i^i Z ) C_ n |
29 |
|
inss1 |
|- ( m i^i Z ) C_ m |
30 |
|
ss2in |
|- ( ( ( n i^i Z ) C_ n /\ ( m i^i Z ) C_ m ) -> ( ( n i^i Z ) i^i ( m i^i Z ) ) C_ ( n i^i m ) ) |
31 |
28 29 30
|
mp2an |
|- ( ( n i^i Z ) i^i ( m i^i Z ) ) C_ ( n i^i m ) |
32 |
|
simp33 |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( Z e. ~P U. J /\ C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) /\ D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) /\ ( n e. J /\ m e. J ) /\ ( C C_ n /\ D C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) -> ( n i^i m ) = (/) ) |
33 |
31 32
|
sseqtrid |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( Z e. ~P U. J /\ C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) /\ D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) /\ ( n e. J /\ m e. J ) /\ ( C C_ n /\ D C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) -> ( ( n i^i Z ) i^i ( m i^i Z ) ) C_ (/) ) |
34 |
|
ss0 |
|- ( ( ( n i^i Z ) i^i ( m i^i Z ) ) C_ (/) -> ( ( n i^i Z ) i^i ( m i^i Z ) ) = (/) ) |
35 |
33 34
|
syl |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( Z e. ~P U. J /\ C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) /\ D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) /\ ( n e. J /\ m e. J ) /\ ( C C_ n /\ D C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) -> ( ( n i^i Z ) i^i ( m i^i Z ) ) = (/) ) |
36 |
23 27 35
|
3jca |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( Z e. ~P U. J /\ C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) /\ D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) /\ ( n e. J /\ m e. J ) /\ ( C C_ n /\ D C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) -> ( C C_ ( n i^i Z ) /\ D C_ ( m i^i Z ) /\ ( ( n i^i Z ) i^i ( m i^i Z ) ) = (/) ) ) |
37 |
13 16 36
|
3jca |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( Z e. ~P U. J /\ C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) /\ D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) /\ ( n e. J /\ m e. J ) /\ ( C C_ n /\ D C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) -> ( ( n i^i Z ) e. ( J |`t Z ) /\ ( m i^i Z ) e. ( J |`t Z ) /\ ( C C_ ( n i^i Z ) /\ D C_ ( m i^i Z ) /\ ( ( n i^i Z ) i^i ( m i^i Z ) ) = (/) ) ) ) |
38 |
4 8 37
|
iscnrm3lem7 |
|- ( ( J e. Top /\ ( Z e. ~P U. J /\ C e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) /\ D e. ( Clsd ` ( J |`t Z ) ) ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) -> ( E. n e. J E. m e. J ( C C_ n /\ D C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) -> E. l e. ( J |`t Z ) E. k e. ( J |`t Z ) ( C C_ l /\ D C_ k /\ ( l i^i k ) = (/) ) ) ) |