Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
vex |
|- v e. _V |
2 |
1
|
rabex |
|- { u e. v | u =/= (/) } e. _V |
3 |
|
raleq |
|- ( x = { u e. v | u =/= (/) } -> ( A. z e. x z =/= (/) <-> A. z e. { u e. v | u =/= (/) } z =/= (/) ) ) |
4 |
|
raleq |
|- ( x = { u e. v | u =/= (/) } -> ( A. w e. x ph <-> A. w e. { u e. v | u =/= (/) } ph ) ) |
5 |
4
|
raleqbi1dv |
|- ( x = { u e. v | u =/= (/) } -> ( A. z e. x A. w e. x ph <-> A. z e. { u e. v | u =/= (/) } A. w e. { u e. v | u =/= (/) } ph ) ) |
6 |
3 5
|
anbi12d |
|- ( x = { u e. v | u =/= (/) } -> ( ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ph ) <-> ( A. z e. { u e. v | u =/= (/) } z =/= (/) /\ A. z e. { u e. v | u =/= (/) } A. w e. { u e. v | u =/= (/) } ph ) ) ) |
7 |
|
raleq |
|- ( x = { u e. v | u =/= (/) } -> ( A. z e. x ps <-> A. z e. { u e. v | u =/= (/) } ps ) ) |
8 |
7
|
exbidv |
|- ( x = { u e. v | u =/= (/) } -> ( E. y A. z e. x ps <-> E. y A. z e. { u e. v | u =/= (/) } ps ) ) |
9 |
6 8
|
imbi12d |
|- ( x = { u e. v | u =/= (/) } -> ( ( ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ph ) -> E. y A. z e. x ps ) <-> ( ( A. z e. { u e. v | u =/= (/) } z =/= (/) /\ A. z e. { u e. v | u =/= (/) } A. w e. { u e. v | u =/= (/) } ph ) -> E. y A. z e. { u e. v | u =/= (/) } ps ) ) ) |
10 |
2 9
|
spcv |
|- ( A. x ( ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ph ) -> E. y A. z e. x ps ) -> ( ( A. z e. { u e. v | u =/= (/) } z =/= (/) /\ A. z e. { u e. v | u =/= (/) } A. w e. { u e. v | u =/= (/) } ph ) -> E. y A. z e. { u e. v | u =/= (/) } ps ) ) |
11 |
10
|
alrimiv |
|- ( A. x ( ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ph ) -> E. y A. z e. x ps ) -> A. v ( ( A. z e. { u e. v | u =/= (/) } z =/= (/) /\ A. z e. { u e. v | u =/= (/) } A. w e. { u e. v | u =/= (/) } ph ) -> E. y A. z e. { u e. v | u =/= (/) } ps ) ) |
12 |
|
elrabi |
|- ( z e. { u e. v | u =/= (/) } -> z e. v ) |
13 |
|
elrabi |
|- ( w e. { u e. v | u =/= (/) } -> w e. v ) |
14 |
13
|
imim1i |
|- ( ( w e. v -> ph ) -> ( w e. { u e. v | u =/= (/) } -> ph ) ) |
15 |
14
|
ralimi2 |
|- ( A. w e. v ph -> A. w e. { u e. v | u =/= (/) } ph ) |
16 |
12 15
|
imim12i |
|- ( ( z e. v -> A. w e. v ph ) -> ( z e. { u e. v | u =/= (/) } -> A. w e. { u e. v | u =/= (/) } ph ) ) |
17 |
16
|
ralimi2 |
|- ( A. z e. v A. w e. v ph -> A. z e. { u e. v | u =/= (/) } A. w e. { u e. v | u =/= (/) } ph ) |
18 |
|
neeq1 |
|- ( u = z -> ( u =/= (/) <-> z =/= (/) ) ) |
19 |
18
|
elrab |
|- ( z e. { u e. v | u =/= (/) } <-> ( z e. v /\ z =/= (/) ) ) |
20 |
19
|
simprbi |
|- ( z e. { u e. v | u =/= (/) } -> z =/= (/) ) |
21 |
20
|
rgen |
|- A. z e. { u e. v | u =/= (/) } z =/= (/) |
22 |
17 21
|
jctil |
|- ( A. z e. v A. w e. v ph -> ( A. z e. { u e. v | u =/= (/) } z =/= (/) /\ A. z e. { u e. v | u =/= (/) } A. w e. { u e. v | u =/= (/) } ph ) ) |
23 |
19
|
biimpri |
|- ( ( z e. v /\ z =/= (/) ) -> z e. { u e. v | u =/= (/) } ) |
24 |
23
|
imim1i |
|- ( ( z e. { u e. v | u =/= (/) } -> ps ) -> ( ( z e. v /\ z =/= (/) ) -> ps ) ) |
25 |
24
|
expd |
|- ( ( z e. { u e. v | u =/= (/) } -> ps ) -> ( z e. v -> ( z =/= (/) -> ps ) ) ) |
26 |
25
|
ralimi2 |
|- ( A. z e. { u e. v | u =/= (/) } ps -> A. z e. v ( z =/= (/) -> ps ) ) |
27 |
26
|
eximi |
|- ( E. y A. z e. { u e. v | u =/= (/) } ps -> E. y A. z e. v ( z =/= (/) -> ps ) ) |
28 |
22 27
|
imim12i |
|- ( ( ( A. z e. { u e. v | u =/= (/) } z =/= (/) /\ A. z e. { u e. v | u =/= (/) } A. w e. { u e. v | u =/= (/) } ph ) -> E. y A. z e. { u e. v | u =/= (/) } ps ) -> ( A. z e. v A. w e. v ph -> E. y A. z e. v ( z =/= (/) -> ps ) ) ) |
29 |
11 28
|
sylg |
|- ( A. x ( ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ph ) -> E. y A. z e. x ps ) -> A. v ( A. z e. v A. w e. v ph -> E. y A. z e. v ( z =/= (/) -> ps ) ) ) |
30 |
|
raleq |
|- ( v = x -> ( A. w e. v ph <-> A. w e. x ph ) ) |
31 |
30
|
raleqbi1dv |
|- ( v = x -> ( A. z e. v A. w e. v ph <-> A. z e. x A. w e. x ph ) ) |
32 |
|
raleq |
|- ( v = x -> ( A. z e. v ( z =/= (/) -> ps ) <-> A. z e. x ( z =/= (/) -> ps ) ) ) |
33 |
32
|
exbidv |
|- ( v = x -> ( E. y A. z e. v ( z =/= (/) -> ps ) <-> E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> ps ) ) ) |
34 |
31 33
|
imbi12d |
|- ( v = x -> ( ( A. z e. v A. w e. v ph -> E. y A. z e. v ( z =/= (/) -> ps ) ) <-> ( A. z e. x A. w e. x ph -> E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> ps ) ) ) ) |
35 |
34
|
cbvalvw |
|- ( A. v ( A. z e. v A. w e. v ph -> E. y A. z e. v ( z =/= (/) -> ps ) ) <-> A. x ( A. z e. x A. w e. x ph -> E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> ps ) ) ) |
36 |
29 35
|
sylib |
|- ( A. x ( ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ph ) -> E. y A. z e. x ps ) -> A. x ( A. z e. x A. w e. x ph -> E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> ps ) ) ) |