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Theorem lhpmod2i2

Description: Modular law for hyperplanes analogous to atmod2i2 for atoms. (Contributed by NM, 9-Feb-2013)

Ref Expression
Hypotheses lhpmod.b 
|- B = ( Base ` K )
lhpmod.l 
|- .<_ = ( le ` K )
lhpmod.j 
|- .\/ = ( join ` K )
lhpmod.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
lhpmod.h 
|- H = ( LHyp ` K )
Assertion lhpmod2i2 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( X ./\ W ) .\/ Y ) = ( X ./\ ( W .\/ Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lhpmod.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 lhpmod.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 lhpmod.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 lhpmod.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 lhpmod.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> K e. HL )
7 simp1r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> W e. H )
8 eqid 
 |-  ( oc ` K ) = ( oc ` K )
9 eqid 
 |-  ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
10 8 9 5 lhpocat 
 |-  ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( oc ` K ) ` W ) e. ( Atoms ` K ) )
11 6 7 10 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( oc ` K ) ` W ) e. ( Atoms ` K ) )
12 hlop 
 |-  ( K e. HL -> K e. OP )
13 6 12 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> K e. OP )
14 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> X e. B )
15 1 8 opoccl 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ( oc ` K ) ` X ) e. B )
16 13 14 15 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( oc ` K ) ` X ) e. B )
17 simp2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> Y e. B )
18 1 8 opoccl 
 |-  ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ( oc ` K ) ` Y ) e. B )
19 13 17 18 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( oc ` K ) ` Y ) e. B )
20 simp3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> Y .<_ X )
21 1 2 8 oplecon3b 
 |-  ( ( K e. OP /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y .<_ X <-> ( ( oc ` K ) ` X ) .<_ ( ( oc ` K ) ` Y ) ) )
22 13 17 14 21 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( Y .<_ X <-> ( ( oc ` K ) ` X ) .<_ ( ( oc ` K ) ` Y ) ) )
23 20 22 mpbid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( oc ` K ) ` X ) .<_ ( ( oc ` K ) ` Y ) )
24 1 2 3 4 9 atmod1i2 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( ( ( oc ` K ) ` W ) e. ( Atoms ` K ) /\ ( ( oc ` K ) ` X ) e. B /\ ( ( oc ` K ) ` Y ) e. B ) /\ ( ( oc ` K ) ` X ) .<_ ( ( oc ` K ) ` Y ) ) -> ( ( ( oc ` K ) ` X ) .\/ ( ( ( oc ` K ) ` W ) ./\ ( ( oc ` K ) ` Y ) ) ) = ( ( ( ( oc ` K ) ` X ) .\/ ( ( oc ` K ) ` W ) ) ./\ ( ( oc ` K ) ` Y ) ) )
25 6 11 16 19 23 24 syl131anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( ( oc ` K ) ` X ) .\/ ( ( ( oc ` K ) ` W ) ./\ ( ( oc ` K ) ` Y ) ) ) = ( ( ( ( oc ` K ) ` X ) .\/ ( ( oc ` K ) ` W ) ) ./\ ( ( oc ` K ) ` Y ) ) )
26 6 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> K e. Lat )
27 1 5 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. B )
28 7 27 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> W e. B )
29 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X ./\ W ) e. B )
30 26 14 28 29 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( X ./\ W ) e. B )
31 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X ./\ W ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X ./\ W ) .\/ Y ) e. B )
32 26 30 17 31 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( X ./\ W ) .\/ Y ) e. B )
33 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ W e. B /\ Y e. B ) -> ( W .\/ Y ) e. B )
34 26 28 17 33 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( W .\/ Y ) e. B )
35 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ ( W .\/ Y ) e. B ) -> ( X ./\ ( W .\/ Y ) ) e. B )
36 26 14 34 35 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( X ./\ ( W .\/ Y ) ) e. B )
37 1 8 opcon3b 
 |-  ( ( K e. OP /\ ( ( X ./\ W ) .\/ Y ) e. B /\ ( X ./\ ( W .\/ Y ) ) e. B ) -> ( ( ( X ./\ W ) .\/ Y ) = ( X ./\ ( W .\/ Y ) ) <-> ( ( oc ` K ) ` ( X ./\ ( W .\/ Y ) ) ) = ( ( oc ` K ) ` ( ( X ./\ W ) .\/ Y ) ) ) )
38 13 32 36 37 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( ( X ./\ W ) .\/ Y ) = ( X ./\ ( W .\/ Y ) ) <-> ( ( oc ` K ) ` ( X ./\ ( W .\/ Y ) ) ) = ( ( oc ` K ) ` ( ( X ./\ W ) .\/ Y ) ) ) )
39 hlol 
 |-  ( K e. HL -> K e. OL )
40 6 39 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> K e. OL )
41 1 3 4 8 oldmm1 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ ( W .\/ Y ) e. B ) -> ( ( oc ` K ) ` ( X ./\ ( W .\/ Y ) ) ) = ( ( ( oc ` K ) ` X ) .\/ ( ( oc ` K ) ` ( W .\/ Y ) ) ) )
42 40 14 34 41 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( oc ` K ) ` ( X ./\ ( W .\/ Y ) ) ) = ( ( ( oc ` K ) ` X ) .\/ ( ( oc ` K ) ` ( W .\/ Y ) ) ) )
43 1 3 4 8 oldmj1 
 |-  ( ( K e. OL /\ W e. B /\ Y e. B ) -> ( ( oc ` K ) ` ( W .\/ Y ) ) = ( ( ( oc ` K ) ` W ) ./\ ( ( oc ` K ) ` Y ) ) )
44 40 28 17 43 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( oc ` K ) ` ( W .\/ Y ) ) = ( ( ( oc ` K ) ` W ) ./\ ( ( oc ` K ) ` Y ) ) )
45 44 oveq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( ( oc ` K ) ` X ) .\/ ( ( oc ` K ) ` ( W .\/ Y ) ) ) = ( ( ( oc ` K ) ` X ) .\/ ( ( ( oc ` K ) ` W ) ./\ ( ( oc ` K ) ` Y ) ) ) )
46 42 45 eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( oc ` K ) ` ( X ./\ ( W .\/ Y ) ) ) = ( ( ( oc ` K ) ` X ) .\/ ( ( ( oc ` K ) ` W ) ./\ ( ( oc ` K ) ` Y ) ) ) )
47 1 3 4 8 oldmj1 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( X ./\ W ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ( oc ` K ) ` ( ( X ./\ W ) .\/ Y ) ) = ( ( ( oc ` K ) ` ( X ./\ W ) ) ./\ ( ( oc ` K ) ` Y ) ) )
48 40 30 17 47 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( oc ` K ) ` ( ( X ./\ W ) .\/ Y ) ) = ( ( ( oc ` K ) ` ( X ./\ W ) ) ./\ ( ( oc ` K ) ` Y ) ) )
49 1 3 4 8 oldmm1 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( ( oc ` K ) ` ( X ./\ W ) ) = ( ( ( oc ` K ) ` X ) .\/ ( ( oc ` K ) ` W ) ) )
50 40 14 28 49 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( oc ` K ) ` ( X ./\ W ) ) = ( ( ( oc ` K ) ` X ) .\/ ( ( oc ` K ) ` W ) ) )
51 50 oveq1d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( ( oc ` K ) ` ( X ./\ W ) ) ./\ ( ( oc ` K ) ` Y ) ) = ( ( ( ( oc ` K ) ` X ) .\/ ( ( oc ` K ) ` W ) ) ./\ ( ( oc ` K ) ` Y ) ) )
52 48 51 eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( oc ` K ) ` ( ( X ./\ W ) .\/ Y ) ) = ( ( ( ( oc ` K ) ` X ) .\/ ( ( oc ` K ) ` W ) ) ./\ ( ( oc ` K ) ` Y ) ) )
53 46 52 eqeq12d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( ( oc ` K ) ` ( X ./\ ( W .\/ Y ) ) ) = ( ( oc ` K ) ` ( ( X ./\ W ) .\/ Y ) ) <-> ( ( ( oc ` K ) ` X ) .\/ ( ( ( oc ` K ) ` W ) ./\ ( ( oc ` K ) ` Y ) ) ) = ( ( ( ( oc ` K ) ` X ) .\/ ( ( oc ` K ) ` W ) ) ./\ ( ( oc ` K ) ` Y ) ) ) )
54 38 53 bitrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( ( X ./\ W ) .\/ Y ) = ( X ./\ ( W .\/ Y ) ) <-> ( ( ( oc ` K ) ` X ) .\/ ( ( ( oc ` K ) ` W ) ./\ ( ( oc ` K ) ` Y ) ) ) = ( ( ( ( oc ` K ) ` X ) .\/ ( ( oc ` K ) ` W ) ) ./\ ( ( oc ` K ) ` Y ) ) ) )
55 25 54 mpbird 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ Y .<_ X ) -> ( ( X ./\ W ) .\/ Y ) = ( X ./\ ( W .\/ Y ) ) )