Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lincsum.p |
|- .+ = ( +g ` M ) |
2 |
|
lincsum.x |
|- X = ( A ( linC ` M ) V ) |
3 |
|
lincsum.y |
|- Y = ( B ( linC ` M ) V ) |
4 |
|
lincsum.s |
|- S = ( Scalar ` M ) |
5 |
|
lincsum.r |
|- R = ( Base ` S ) |
6 |
|
lincsum.b |
|- .+b = ( +g ` S ) |
7 |
|
eqid |
|- ( Base ` M ) = ( Base ` M ) |
8 |
|
eqid |
|- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M ) |
9 |
|
lmodcmn |
|- ( M e. LMod -> M e. CMnd ) |
10 |
9
|
adantr |
|- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> M e. CMnd ) |
11 |
10
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> M e. CMnd ) |
12 |
|
simpr |
|- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) ) |
13 |
12
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) ) |
14 |
|
simpl |
|- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> M e. LMod ) |
15 |
14
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> M e. LMod ) |
16 |
15
|
adantr |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> M e. LMod ) |
17 |
|
elmapi |
|- ( A e. ( R ^m V ) -> A : V --> R ) |
18 |
|
ffvelrn |
|- ( ( A : V --> R /\ x e. V ) -> ( A ` x ) e. R ) |
19 |
18
|
ex |
|- ( A : V --> R -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) ) |
20 |
17 19
|
syl |
|- ( A e. ( R ^m V ) -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) ) |
21 |
20
|
adantr |
|- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) ) |
22 |
21
|
3ad2ant2 |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) ) |
23 |
22
|
imp |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> ( A ` x ) e. R ) |
24 |
|
elelpwi |
|- ( ( x e. V /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> x e. ( Base ` M ) ) |
25 |
24
|
expcom |
|- ( V e. ~P ( Base ` M ) -> ( x e. V -> x e. ( Base ` M ) ) ) |
26 |
25
|
adantl |
|- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( x e. V -> x e. ( Base ` M ) ) ) |
27 |
26
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V -> x e. ( Base ` M ) ) ) |
28 |
27
|
imp |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> x e. ( Base ` M ) ) |
29 |
|
eqid |
|- ( .s ` M ) = ( .s ` M ) |
30 |
7 4 29 5
|
lmodvscl |
|- ( ( M e. LMod /\ ( A ` x ) e. R /\ x e. ( Base ` M ) ) -> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) e. ( Base ` M ) ) |
31 |
16 23 28 30
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) e. ( Base ` M ) ) |
32 |
|
elmapi |
|- ( B e. ( R ^m V ) -> B : V --> R ) |
33 |
|
ffvelrn |
|- ( ( B : V --> R /\ x e. V ) -> ( B ` x ) e. R ) |
34 |
33
|
ex |
|- ( B : V --> R -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) ) |
35 |
32 34
|
syl |
|- ( B e. ( R ^m V ) -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) ) |
36 |
35
|
adantl |
|- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) ) |
37 |
36
|
3ad2ant2 |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) ) |
38 |
37
|
imp |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> ( B ` x ) e. R ) |
39 |
7 4 29 5
|
lmodvscl |
|- ( ( M e. LMod /\ ( B ` x ) e. R /\ x e. ( Base ` M ) ) -> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) e. ( Base ` M ) ) |
40 |
16 38 28 39
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) e. ( Base ` M ) ) |
41 |
|
eqidd |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) |
42 |
|
eqidd |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) |
43 |
|
id |
|- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) ) |
44 |
|
simpl |
|- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> A e. ( R ^m V ) ) |
45 |
|
simpl |
|- ( ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) -> A finSupp ( 0g ` S ) ) |
46 |
4 5
|
scmfsupp |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ A e. ( R ^m V ) /\ A finSupp ( 0g ` S ) ) -> ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) ) |
47 |
43 44 45 46
|
syl3an |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) ) |
48 |
|
simpr |
|- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> B e. ( R ^m V ) ) |
49 |
|
simpr |
|- ( ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) -> B finSupp ( 0g ` S ) ) |
50 |
4 5
|
scmfsupp |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ B e. ( R ^m V ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) -> ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) ) |
51 |
43 48 49 50
|
syl3an |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) ) |
52 |
7 8 1 11 13 31 40 41 42 47 51
|
gsummptfsadd |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( M gsum ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) = ( ( M gsum ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( M gsum ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) ) |
53 |
12
|
adantr |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) ) |
54 |
|
elmapfn |
|- ( A e. ( R ^m V ) -> A Fn V ) |
55 |
54
|
ad2antrl |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> A Fn V ) |
56 |
|
elmapfn |
|- ( B e. ( R ^m V ) -> B Fn V ) |
57 |
56
|
ad2antll |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> B Fn V ) |
58 |
53 55 57
|
offvalfv |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A oF .+b B ) = ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) ) |
59 |
58
|
3adant3 |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( A oF .+b B ) = ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) ) |
60 |
4
|
lmodfgrp |
|- ( M e. LMod -> S e. Grp ) |
61 |
60
|
grpmndd |
|- ( M e. LMod -> S e. Mnd ) |
62 |
61
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> S e. Mnd ) |
63 |
|
ffvelrn |
|- ( ( A : V --> R /\ y e. V ) -> ( A ` y ) e. R ) |
64 |
63
|
ex |
|- ( A : V --> R -> ( y e. V -> ( A ` y ) e. R ) ) |
65 |
17 64
|
syl |
|- ( A e. ( R ^m V ) -> ( y e. V -> ( A ` y ) e. R ) ) |
66 |
65
|
ad2antrl |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( y e. V -> ( A ` y ) e. R ) ) |
67 |
66
|
imp |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> ( A ` y ) e. R ) |
68 |
4
|
fveq2i |
|- ( Base ` S ) = ( Base ` ( Scalar ` M ) ) |
69 |
5 68
|
eqtri |
|- R = ( Base ` ( Scalar ` M ) ) |
70 |
67 69
|
eleqtrdi |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> ( A ` y ) e. ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ) |
71 |
|
ffvelrn |
|- ( ( B : V --> R /\ y e. V ) -> ( B ` y ) e. R ) |
72 |
71 69
|
eleqtrdi |
|- ( ( B : V --> R /\ y e. V ) -> ( B ` y ) e. ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ) |
73 |
72
|
ex |
|- ( B : V --> R -> ( y e. V -> ( B ` y ) e. ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ) ) |
74 |
32 73
|
syl |
|- ( B e. ( R ^m V ) -> ( y e. V -> ( B ` y ) e. ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ) ) |
75 |
74
|
ad2antll |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( y e. V -> ( B ` y ) e. ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ) ) |
76 |
75
|
imp |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> ( B ` y ) e. ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ) |
77 |
4
|
eqcomi |
|- ( Scalar ` M ) = S |
78 |
77
|
fveq2i |
|- ( Base ` ( Scalar ` M ) ) = ( Base ` S ) |
79 |
78 6
|
mndcl |
|- ( ( S e. Mnd /\ ( A ` y ) e. ( Base ` ( Scalar ` M ) ) /\ ( B ` y ) e. ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ) -> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) e. ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ) |
80 |
62 70 76 79
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) e. ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ) |
81 |
80
|
fmpttd |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) : V --> ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ) |
82 |
|
fvex |
|- ( Base ` ( Scalar ` M ) ) e. _V |
83 |
|
elmapg |
|- ( ( ( Base ` ( Scalar ` M ) ) e. _V /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) e. ( ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ^m V ) <-> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) : V --> ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ) ) |
84 |
82 53 83
|
sylancr |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) e. ( ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ^m V ) <-> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) : V --> ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ) ) |
85 |
81 84
|
mpbird |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) e. ( ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ^m V ) ) |
86 |
85
|
3adant3 |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) e. ( ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ^m V ) ) |
87 |
59 86
|
eqeltrd |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( A oF .+b B ) e. ( ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ^m V ) ) |
88 |
|
lincval |
|- ( ( M e. LMod /\ ( A oF .+b B ) e. ( ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) = ( M gsum ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) |
89 |
15 87 13 88
|
syl3anc |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) = ( M gsum ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) |
90 |
54 56
|
anim12i |
|- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> ( A Fn V /\ B Fn V ) ) |
91 |
90
|
adantl |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A Fn V /\ B Fn V ) ) |
92 |
91
|
adantr |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( A Fn V /\ B Fn V ) ) |
93 |
53
|
anim1i |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ x e. V ) ) |
94 |
|
fnfvof |
|- ( ( ( A Fn V /\ B Fn V ) /\ ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ x e. V ) ) -> ( ( A oF .+b B ) ` x ) = ( ( A ` x ) .+b ( B ` x ) ) ) |
95 |
92 93 94
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( A oF .+b B ) ` x ) = ( ( A ` x ) .+b ( B ` x ) ) ) |
96 |
6
|
a1i |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> .+b = ( +g ` S ) ) |
97 |
96
|
oveqd |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( A ` x ) .+b ( B ` x ) ) = ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) ) |
98 |
95 97
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( A oF .+b B ) ` x ) = ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) ) |
99 |
98
|
oveq1d |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) ( .s ` M ) x ) ) |
100 |
14
|
adantr |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> M e. LMod ) |
101 |
100
|
adantr |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> M e. LMod ) |
102 |
20
|
ad2antrl |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) ) |
103 |
102
|
imp |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( A ` x ) e. R ) |
104 |
35
|
ad2antll |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) ) |
105 |
104
|
imp |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( B ` x ) e. R ) |
106 |
26
|
adantr |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( x e. V -> x e. ( Base ` M ) ) ) |
107 |
106
|
imp |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> x e. ( Base ` M ) ) |
108 |
|
eqid |
|- ( Scalar ` M ) = ( Scalar ` M ) |
109 |
4
|
fveq2i |
|- ( +g ` S ) = ( +g ` ( Scalar ` M ) ) |
110 |
7 1 108 29 69 109
|
lmodvsdir |
|- ( ( M e. LMod /\ ( ( A ` x ) e. R /\ ( B ` x ) e. R /\ x e. ( Base ` M ) ) ) -> ( ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) |
111 |
101 103 105 107 110
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) |
112 |
99 111
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) |
113 |
112
|
mpteq2dva |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) |
114 |
113
|
oveq2d |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( M gsum ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( M gsum ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) ) |
115 |
114
|
3adant3 |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( M gsum ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( M gsum ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) ) |
116 |
89 115
|
eqtrd |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) = ( M gsum ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) ) |
117 |
2 3
|
oveq12i |
|- ( X .+ Y ) = ( ( A ( linC ` M ) V ) .+ ( B ( linC ` M ) V ) ) |
118 |
69
|
oveq1i |
|- ( R ^m V ) = ( ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ^m V ) |
119 |
118
|
eleq2i |
|- ( A e. ( R ^m V ) <-> A e. ( ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ^m V ) ) |
120 |
119
|
biimpi |
|- ( A e. ( R ^m V ) -> A e. ( ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ^m V ) ) |
121 |
120
|
ad2antrl |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> A e. ( ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ^m V ) ) |
122 |
|
lincval |
|- ( ( M e. LMod /\ A e. ( ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( A ( linC ` M ) V ) = ( M gsum ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) |
123 |
100 121 53 122
|
syl3anc |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A ( linC ` M ) V ) = ( M gsum ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) |
124 |
118
|
eleq2i |
|- ( B e. ( R ^m V ) <-> B e. ( ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ^m V ) ) |
125 |
124
|
biimpi |
|- ( B e. ( R ^m V ) -> B e. ( ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ^m V ) ) |
126 |
125
|
ad2antll |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> B e. ( ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ^m V ) ) |
127 |
|
lincval |
|- ( ( M e. LMod /\ B e. ( ( Base ` ( Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( B ( linC ` M ) V ) = ( M gsum ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) |
128 |
100 126 53 127
|
syl3anc |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( B ( linC ` M ) V ) = ( M gsum ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) |
129 |
123 128
|
oveq12d |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( A ( linC ` M ) V ) .+ ( B ( linC ` M ) V ) ) = ( ( M gsum ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( M gsum ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) ) |
130 |
129
|
3adant3 |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( A ( linC ` M ) V ) .+ ( B ( linC ` M ) V ) ) = ( ( M gsum ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( M gsum ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) ) |
131 |
117 130
|
syl5eq |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( X .+ Y ) = ( ( M gsum ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( M gsum ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) ) |
132 |
52 116 131
|
3eqtr4rd |
|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( X .+ Y ) = ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) ) |