Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lshpkrlem.v |
|- V = ( Base ` W ) |
2 |
|
lshpkrlem.a |
|- .+ = ( +g ` W ) |
3 |
|
lshpkrlem.n |
|- N = ( LSpan ` W ) |
4 |
|
lshpkrlem.p |
|- .(+) = ( LSSum ` W ) |
5 |
|
lshpkrlem.h |
|- H = ( LSHyp ` W ) |
6 |
|
lshpkrlem.w |
|- ( ph -> W e. LVec ) |
7 |
|
lshpkrlem.u |
|- ( ph -> U e. H ) |
8 |
|
lshpkrlem.z |
|- ( ph -> Z e. V ) |
9 |
|
lshpkrlem.x |
|- ( ph -> X e. V ) |
10 |
|
lshpkrlem.e |
|- ( ph -> ( U .(+) ( N ` { Z } ) ) = V ) |
11 |
|
lshpkrlem.d |
|- D = ( Scalar ` W ) |
12 |
|
lshpkrlem.k |
|- K = ( Base ` D ) |
13 |
|
lshpkrlem.t |
|- .x. = ( .s ` W ) |
14 |
|
lshpkrlem.o |
|- .0. = ( 0g ` D ) |
15 |
|
lshpkrlem.g |
|- G = ( x e. V |-> ( iota_ k e. K E. y e. U x = ( y .+ ( k .x. Z ) ) ) ) |
16 |
|
simp3l |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) ) ) -> u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) ) |
17 |
16
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) ) ) -> ( l .x. u ) = ( l .x. ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) ) ) |
18 |
|
simp3r |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) ) ) -> v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) ) |
19 |
17 18
|
oveq12d |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) ) ) -> ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( ( l .x. ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) ) .+ ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) ) ) |
20 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> ph ) |
21 |
|
lveclmod |
|- ( W e. LVec -> W e. LMod ) |
22 |
20 6 21
|
3syl |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> W e. LMod ) |
23 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> l e. K ) |
24 |
|
simpr2 |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> r e. V ) |
25 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> u e. V ) |
26 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ u e. V ) -> W e. LVec ) |
27 |
7
|
adantr |
|- ( ( ph /\ u e. V ) -> U e. H ) |
28 |
8
|
adantr |
|- ( ( ph /\ u e. V ) -> Z e. V ) |
29 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ u e. V ) -> u e. V ) |
30 |
10
|
adantr |
|- ( ( ph /\ u e. V ) -> ( U .(+) ( N ` { Z } ) ) = V ) |
31 |
1 2 3 4 5 26 27 28 29 30 11 12 13 14 15
|
lshpkrlem2 |
|- ( ( ph /\ u e. V ) -> ( G ` u ) e. K ) |
32 |
20 25 31
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> ( G ` u ) e. K ) |
33 |
20 8
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> Z e. V ) |
34 |
1 11 13 12
|
lmodvscl |
|- ( ( W e. LMod /\ ( G ` u ) e. K /\ Z e. V ) -> ( ( G ` u ) .x. Z ) e. V ) |
35 |
22 32 33 34
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> ( ( G ` u ) .x. Z ) e. V ) |
36 |
1 2 11 13 12
|
lmodvsdi |
|- ( ( W e. LMod /\ ( l e. K /\ r e. V /\ ( ( G ` u ) .x. Z ) e. V ) ) -> ( l .x. ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) ) = ( ( l .x. r ) .+ ( l .x. ( ( G ` u ) .x. Z ) ) ) ) |
37 |
22 23 24 35 36
|
syl13anc |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> ( l .x. ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) ) = ( ( l .x. r ) .+ ( l .x. ( ( G ` u ) .x. Z ) ) ) ) |
38 |
|
eqid |
|- ( .r ` D ) = ( .r ` D ) |
39 |
1 11 13 12 38
|
lmodvsass |
|- ( ( W e. LMod /\ ( l e. K /\ ( G ` u ) e. K /\ Z e. V ) ) -> ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) .x. Z ) = ( l .x. ( ( G ` u ) .x. Z ) ) ) |
40 |
22 23 32 33 39
|
syl13anc |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) .x. Z ) = ( l .x. ( ( G ` u ) .x. Z ) ) ) |
41 |
40
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> ( ( l .x. r ) .+ ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) .x. Z ) ) = ( ( l .x. r ) .+ ( l .x. ( ( G ` u ) .x. Z ) ) ) ) |
42 |
37 41
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> ( l .x. ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) ) = ( ( l .x. r ) .+ ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) .x. Z ) ) ) |
43 |
42
|
oveq1d |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> ( ( l .x. ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) ) .+ ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) ) = ( ( ( l .x. r ) .+ ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) .x. Z ) ) .+ ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) ) ) |
44 |
1 11 13 12
|
lmodvscl |
|- ( ( W e. LMod /\ l e. K /\ r e. V ) -> ( l .x. r ) e. V ) |
45 |
22 23 24 44
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> ( l .x. r ) e. V ) |
46 |
11 12 38
|
lmodmcl |
|- ( ( W e. LMod /\ l e. K /\ ( G ` u ) e. K ) -> ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) e. K ) |
47 |
22 23 32 46
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) e. K ) |
48 |
1 11 13 12
|
lmodvscl |
|- ( ( W e. LMod /\ ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) e. K /\ Z e. V ) -> ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) .x. Z ) e. V ) |
49 |
22 47 33 48
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) .x. Z ) e. V ) |
50 |
|
simpr3 |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> s e. V ) |
51 |
|
simpr1 |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> v e. V ) |
52 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ v e. V ) -> W e. LVec ) |
53 |
7
|
adantr |
|- ( ( ph /\ v e. V ) -> U e. H ) |
54 |
8
|
adantr |
|- ( ( ph /\ v e. V ) -> Z e. V ) |
55 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ v e. V ) -> v e. V ) |
56 |
10
|
adantr |
|- ( ( ph /\ v e. V ) -> ( U .(+) ( N ` { Z } ) ) = V ) |
57 |
1 2 3 4 5 52 53 54 55 56 11 12 13 14 15
|
lshpkrlem2 |
|- ( ( ph /\ v e. V ) -> ( G ` v ) e. K ) |
58 |
20 51 57
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> ( G ` v ) e. K ) |
59 |
1 11 13 12
|
lmodvscl |
|- ( ( W e. LMod /\ ( G ` v ) e. K /\ Z e. V ) -> ( ( G ` v ) .x. Z ) e. V ) |
60 |
22 58 33 59
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> ( ( G ` v ) .x. Z ) e. V ) |
61 |
1 2
|
lmod4 |
|- ( ( W e. LMod /\ ( ( l .x. r ) e. V /\ ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) .x. Z ) e. V ) /\ ( s e. V /\ ( ( G ` v ) .x. Z ) e. V ) ) -> ( ( ( l .x. r ) .+ ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) .x. Z ) ) .+ ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) ) = ( ( ( l .x. r ) .+ s ) .+ ( ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) .x. Z ) .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) ) ) |
62 |
22 45 49 50 60 61
|
syl122anc |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> ( ( ( l .x. r ) .+ ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) .x. Z ) ) .+ ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) ) = ( ( ( l .x. r ) .+ s ) .+ ( ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) .x. Z ) .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) ) ) |
63 |
|
eqid |
|- ( +g ` D ) = ( +g ` D ) |
64 |
1 2 11 13 12 63
|
lmodvsdir |
|- ( ( W e. LMod /\ ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) e. K /\ ( G ` v ) e. K /\ Z e. V ) ) -> ( ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) ( +g ` D ) ( G ` v ) ) .x. Z ) = ( ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) .x. Z ) .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) ) |
65 |
22 47 58 33 64
|
syl13anc |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> ( ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) ( +g ` D ) ( G ` v ) ) .x. Z ) = ( ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) .x. Z ) .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) ) |
66 |
65
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> ( ( ( l .x. r ) .+ s ) .+ ( ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) ( +g ` D ) ( G ` v ) ) .x. Z ) ) = ( ( ( l .x. r ) .+ s ) .+ ( ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) .x. Z ) .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) ) ) |
67 |
62 66
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> ( ( ( l .x. r ) .+ ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) .x. Z ) ) .+ ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) ) = ( ( ( l .x. r ) .+ s ) .+ ( ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) ( +g ` D ) ( G ` v ) ) .x. Z ) ) ) |
68 |
43 67
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) ) -> ( ( l .x. ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) ) .+ ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) ) = ( ( ( l .x. r ) .+ s ) .+ ( ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) ( +g ` D ) ( G ` v ) ) .x. Z ) ) ) |
69 |
68
|
3adant3 |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) ) ) -> ( ( l .x. ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) ) .+ ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) ) = ( ( ( l .x. r ) .+ s ) .+ ( ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) ( +g ` D ) ( G ` v ) ) .x. Z ) ) ) |
70 |
19 69
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) ) ) -> ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( ( ( l .x. r ) .+ s ) .+ ( ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) ( +g ` D ) ( G ` v ) ) .x. Z ) ) ) |