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Theorem lsmsp

Description: Subspace sum in terms of span. (Contributed by NM, 6-Feb-2014) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Jun-2014)

Ref Expression
Hypotheses lsmsp.s 
|- S = ( LSubSp ` W )
lsmsp.n 
|- N = ( LSpan ` W )
lsmsp.p 
|- .(+) = ( LSSum ` W )
Assertion lsmsp 
|- ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> ( T .(+) U ) = ( N ` ( T u. U ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lsmsp.s 
 |-  S = ( LSubSp ` W )
2 lsmsp.n 
 |-  N = ( LSpan ` W )
3 lsmsp.p 
 |-  .(+) = ( LSSum ` W )
4 simp1 
 |-  ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> W e. LMod )
5 eqid 
 |-  ( Base ` W ) = ( Base ` W )
6 5 1 lssss 
 |-  ( T e. S -> T C_ ( Base ` W ) )
7 6 3ad2ant2 
 |-  ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> T C_ ( Base ` W ) )
8 5 1 lssss 
 |-  ( U e. S -> U C_ ( Base ` W ) )
9 8 3ad2ant3 
 |-  ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> U C_ ( Base ` W ) )
10 7 9 unssd 
 |-  ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> ( T u. U ) C_ ( Base ` W ) )
11 5 2 lspssid 
 |-  ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ ( Base ` W ) ) -> ( T u. U ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
12 4 10 11 syl2anc 
 |-  ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> ( T u. U ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
13 12 unssad 
 |-  ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> T C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
14 12 unssbd 
 |-  ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> U C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
15 1 lsssssubg 
 |-  ( W e. LMod -> S C_ ( SubGrp ` W ) )
16 15 3ad2ant1 
 |-  ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> S C_ ( SubGrp ` W ) )
17 simp2 
 |-  ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> T e. S )
18 16 17 sseldd 
 |-  ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> T e. ( SubGrp ` W ) )
19 simp3 
 |-  ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> U e. S )
20 16 19 sseldd 
 |-  ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> U e. ( SubGrp ` W ) )
21 5 1 2 lspcl 
 |-  ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ ( Base ` W ) ) -> ( N ` ( T u. U ) ) e. S )
22 4 10 21 syl2anc 
 |-  ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> ( N ` ( T u. U ) ) e. S )
23 16 22 sseldd 
 |-  ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> ( N ` ( T u. U ) ) e. ( SubGrp ` W ) )
24 3 lsmlub 
 |-  ( ( T e. ( SubGrp ` W ) /\ U e. ( SubGrp ` W ) /\ ( N ` ( T u. U ) ) e. ( SubGrp ` W ) ) -> ( ( T C_ ( N ` ( T u. U ) ) /\ U C_ ( N ` ( T u. U ) ) ) <-> ( T .(+) U ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) ) )
25 18 20 23 24 syl3anc 
 |-  ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> ( ( T C_ ( N ` ( T u. U ) ) /\ U C_ ( N ` ( T u. U ) ) ) <-> ( T .(+) U ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) ) )
26 13 14 25 mpbi2and 
 |-  ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> ( T .(+) U ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
27 1 3 lsmcl 
 |-  ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> ( T .(+) U ) e. S )
28 3 lsmunss 
 |-  ( ( T e. ( SubGrp ` W ) /\ U e. ( SubGrp ` W ) ) -> ( T u. U ) C_ ( T .(+) U ) )
29 18 20 28 syl2anc 
 |-  ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> ( T u. U ) C_ ( T .(+) U ) )
30 1 2 lspssp 
 |-  ( ( W e. LMod /\ ( T .(+) U ) e. S /\ ( T u. U ) C_ ( T .(+) U ) ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ ( T .(+) U ) )
31 4 27 29 30 syl3anc 
 |-  ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ ( T .(+) U ) )
32 26 31 eqssd 
 |-  ( ( W e. LMod /\ T e. S /\ U e. S ) -> ( T .(+) U ) = ( N ` ( T u. U ) ) )