Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lspprabs.v |
|- V = ( Base ` W ) |
2 |
|
lspprabs.p |
|- .+ = ( +g ` W ) |
3 |
|
lspprabs.n |
|- N = ( LSpan ` W ) |
4 |
|
lspprabs.w |
|- ( ph -> W e. LMod ) |
5 |
|
lspprabs.x |
|- ( ph -> X e. V ) |
6 |
|
lspprabs.y |
|- ( ph -> Y e. V ) |
7 |
|
eqid |
|- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W ) |
8 |
7
|
lsssssubg |
|- ( W e. LMod -> ( LSubSp ` W ) C_ ( SubGrp ` W ) ) |
9 |
4 8
|
syl |
|- ( ph -> ( LSubSp ` W ) C_ ( SubGrp ` W ) ) |
10 |
1 7 3
|
lspsncl |
|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) ) |
11 |
4 5 10
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) ) |
12 |
9 11
|
sseldd |
|- ( ph -> ( N ` { X } ) e. ( SubGrp ` W ) ) |
13 |
1 7 3
|
lspsncl |
|- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` W ) ) |
14 |
4 6 13
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` W ) ) |
15 |
9 14
|
sseldd |
|- ( ph -> ( N ` { Y } ) e. ( SubGrp ` W ) ) |
16 |
|
eqid |
|- ( LSSum ` W ) = ( LSSum ` W ) |
17 |
16
|
lsmub1 |
|- ( ( ( N ` { X } ) e. ( SubGrp ` W ) /\ ( N ` { Y } ) e. ( SubGrp ` W ) ) -> ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) ) |
18 |
12 15 17
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) ) |
19 |
7 16
|
lsmcl |
|- ( ( W e. LMod /\ ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) /\ ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` W ) ) -> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) e. ( LSubSp ` W ) ) |
20 |
4 11 14 19
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) e. ( LSubSp ` W ) ) |
21 |
1 3
|
lspsnid |
|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) ) |
22 |
4 5 21
|
syl2anc |
|- ( ph -> X e. ( N ` { X } ) ) |
23 |
1 3
|
lspsnid |
|- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> Y e. ( N ` { Y } ) ) |
24 |
4 6 23
|
syl2anc |
|- ( ph -> Y e. ( N ` { Y } ) ) |
25 |
2 16
|
lsmelvali |
|- ( ( ( ( N ` { X } ) e. ( SubGrp ` W ) /\ ( N ` { Y } ) e. ( SubGrp ` W ) ) /\ ( X e. ( N ` { X } ) /\ Y e. ( N ` { Y } ) ) ) -> ( X .+ Y ) e. ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) ) |
26 |
12 15 22 24 25
|
syl22anc |
|- ( ph -> ( X .+ Y ) e. ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) ) |
27 |
7 3 4 20 26
|
lspsnel5a |
|- ( ph -> ( N ` { ( X .+ Y ) } ) C_ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) ) |
28 |
1 2
|
lmodvacl |
|- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ Y ) e. V ) |
29 |
4 5 6 28
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( X .+ Y ) e. V ) |
30 |
1 7 3
|
lspsncl |
|- ( ( W e. LMod /\ ( X .+ Y ) e. V ) -> ( N ` { ( X .+ Y ) } ) e. ( LSubSp ` W ) ) |
31 |
4 29 30
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( N ` { ( X .+ Y ) } ) e. ( LSubSp ` W ) ) |
32 |
9 31
|
sseldd |
|- ( ph -> ( N ` { ( X .+ Y ) } ) e. ( SubGrp ` W ) ) |
33 |
9 20
|
sseldd |
|- ( ph -> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) e. ( SubGrp ` W ) ) |
34 |
16
|
lsmlub |
|- ( ( ( N ` { X } ) e. ( SubGrp ` W ) /\ ( N ` { ( X .+ Y ) } ) e. ( SubGrp ` W ) /\ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) e. ( SubGrp ` W ) ) -> ( ( ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) /\ ( N ` { ( X .+ Y ) } ) C_ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) ) <-> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) C_ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) ) ) |
35 |
12 32 33 34
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( ( ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) /\ ( N ` { ( X .+ Y ) } ) C_ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) ) <-> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) C_ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) ) ) |
36 |
18 27 35
|
mpbi2and |
|- ( ph -> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) C_ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) ) |
37 |
16
|
lsmub1 |
|- ( ( ( N ` { X } ) e. ( SubGrp ` W ) /\ ( N ` { ( X .+ Y ) } ) e. ( SubGrp ` W ) ) -> ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) |
38 |
12 32 37
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) |
39 |
7 16
|
lsmcl |
|- ( ( W e. LMod /\ ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) /\ ( N ` { ( X .+ Y ) } ) e. ( LSubSp ` W ) ) -> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) e. ( LSubSp ` W ) ) |
40 |
4 11 31 39
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) e. ( LSubSp ` W ) ) |
41 |
|
eqid |
|- ( -g ` W ) = ( -g ` W ) |
42 |
1 3
|
lspsnid |
|- ( ( W e. LMod /\ ( X .+ Y ) e. V ) -> ( X .+ Y ) e. ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) |
43 |
4 29 42
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( X .+ Y ) e. ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) |
44 |
41 16 32 12 43 22
|
lsmelvalmi |
|- ( ph -> ( ( X .+ Y ) ( -g ` W ) X ) e. ( ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { X } ) ) ) |
45 |
|
lmodabl |
|- ( W e. LMod -> W e. Abel ) |
46 |
4 45
|
syl |
|- ( ph -> W e. Abel ) |
47 |
1 2 41
|
ablpncan2 |
|- ( ( W e. Abel /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( X .+ Y ) ( -g ` W ) X ) = Y ) |
48 |
46 5 6 47
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( ( X .+ Y ) ( -g ` W ) X ) = Y ) |
49 |
16
|
lsmcom |
|- ( ( W e. Abel /\ ( N ` { ( X .+ Y ) } ) e. ( SubGrp ` W ) /\ ( N ` { X } ) e. ( SubGrp ` W ) ) -> ( ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { X } ) ) = ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) |
50 |
46 32 12 49
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { X } ) ) = ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) |
51 |
44 48 50
|
3eltr3d |
|- ( ph -> Y e. ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) |
52 |
7 3 4 40 51
|
lspsnel5a |
|- ( ph -> ( N ` { Y } ) C_ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) |
53 |
9 40
|
sseldd |
|- ( ph -> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) e. ( SubGrp ` W ) ) |
54 |
16
|
lsmlub |
|- ( ( ( N ` { X } ) e. ( SubGrp ` W ) /\ ( N ` { Y } ) e. ( SubGrp ` W ) /\ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) e. ( SubGrp ` W ) ) -> ( ( ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) /\ ( N ` { Y } ) C_ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) <-> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) C_ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) ) |
55 |
12 15 53 54
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( ( ( N ` { X } ) C_ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) /\ ( N ` { Y } ) C_ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) <-> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) C_ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) ) |
56 |
38 52 55
|
mpbi2and |
|- ( ph -> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) C_ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) |
57 |
36 56
|
eqssd |
|- ( ph -> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) = ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) ) |
58 |
1 3 16 4 5 29
|
lsmpr |
|- ( ph -> ( N ` { X , ( X .+ Y ) } ) = ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) |
59 |
1 3 16 4 5 6
|
lsmpr |
|- ( ph -> ( N ` { X , Y } ) = ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) ) |
60 |
57 58 59
|
3eqtr4d |
|- ( ph -> ( N ` { X , ( X .+ Y ) } ) = ( N ` { X , Y } ) ) |