| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
mdegcl.d |
|- D = ( I mDeg R ) |
| 2 |
|
mdegcl.p |
|- P = ( I mPoly R ) |
| 3 |
|
mdegcl.b |
|- B = ( Base ` P ) |
| 4 |
|
eqid |
|- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R ) |
| 5 |
|
eqid |
|- { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } = { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |
| 6 |
|
eqid |
|- ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) = ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) |
| 7 |
1 2 3 4 5 6
|
mdegval |
|- ( F e. B -> ( D ` F ) = sup ( ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) , RR* , < ) ) |
| 8 |
|
supeq1 |
|- ( ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) = (/) -> sup ( ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) , RR* , < ) = sup ( (/) , RR* , < ) ) |
| 9 |
8
|
eleq1d |
|- ( ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) = (/) -> ( sup ( ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) , RR* , < ) e. ( NN0 u. { -oo } ) <-> sup ( (/) , RR* , < ) e. ( NN0 u. { -oo } ) ) ) |
| 10 |
|
imassrn |
|- ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) C_ ran ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) |
| 11 |
5 6
|
tdeglem1 |
|- ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) : { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } --> NN0 |
| 12 |
|
frn |
|- ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) : { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } --> NN0 -> ran ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) C_ NN0 ) |
| 13 |
11 12
|
mp1i |
|- ( F e. B -> ran ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) C_ NN0 ) |
| 14 |
10 13
|
sstrid |
|- ( F e. B -> ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) C_ NN0 ) |
| 15 |
14
|
adantr |
|- ( ( F e. B /\ ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) =/= (/) ) -> ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) C_ NN0 ) |
| 16 |
|
ssun1 |
|- NN0 C_ ( NN0 u. { -oo } ) |
| 17 |
15 16
|
sstrdi |
|- ( ( F e. B /\ ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) =/= (/) ) -> ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) C_ ( NN0 u. { -oo } ) ) |
| 18 |
|
ffun |
|- ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) : { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } --> NN0 -> Fun ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) ) |
| 19 |
11 18
|
mp1i |
|- ( F e. B -> Fun ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) ) |
| 20 |
|
id |
|- ( F e. B -> F e. B ) |
| 21 |
2 3 4 20
|
mplelsfi |
|- ( F e. B -> F finSupp ( 0g ` R ) ) |
| 22 |
21
|
fsuppimpd |
|- ( F e. B -> ( F supp ( 0g ` R ) ) e. Fin ) |
| 23 |
|
imafi |
|- ( ( Fun ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) /\ ( F supp ( 0g ` R ) ) e. Fin ) -> ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) e. Fin ) |
| 24 |
19 22 23
|
syl2anc |
|- ( F e. B -> ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) e. Fin ) |
| 25 |
24
|
adantr |
|- ( ( F e. B /\ ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) =/= (/) ) -> ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) e. Fin ) |
| 26 |
|
simpr |
|- ( ( F e. B /\ ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) =/= (/) ) -> ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) =/= (/) ) |
| 27 |
|
nn0ssre |
|- NN0 C_ RR |
| 28 |
|
ressxr |
|- RR C_ RR* |
| 29 |
27 28
|
sstri |
|- NN0 C_ RR* |
| 30 |
15 29
|
sstrdi |
|- ( ( F e. B /\ ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) =/= (/) ) -> ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) C_ RR* ) |
| 31 |
|
xrltso |
|- < Or RR* |
| 32 |
|
fisupcl |
|- ( ( < Or RR* /\ ( ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) e. Fin /\ ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) =/= (/) /\ ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) C_ RR* ) ) -> sup ( ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) , RR* , < ) e. ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) ) |
| 33 |
31 32
|
mpan |
|- ( ( ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) e. Fin /\ ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) =/= (/) /\ ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) C_ RR* ) -> sup ( ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) , RR* , < ) e. ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) ) |
| 34 |
25 26 30 33
|
syl3anc |
|- ( ( F e. B /\ ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) =/= (/) ) -> sup ( ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) , RR* , < ) e. ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) ) |
| 35 |
17 34
|
sseldd |
|- ( ( F e. B /\ ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) =/= (/) ) -> sup ( ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) , RR* , < ) e. ( NN0 u. { -oo } ) ) |
| 36 |
|
xrsup0 |
|- sup ( (/) , RR* , < ) = -oo |
| 37 |
|
ssun2 |
|- { -oo } C_ ( NN0 u. { -oo } ) |
| 38 |
|
mnfxr |
|- -oo e. RR* |
| 39 |
38
|
elexi |
|- -oo e. _V |
| 40 |
39
|
snid |
|- -oo e. { -oo } |
| 41 |
37 40
|
sselii |
|- -oo e. ( NN0 u. { -oo } ) |
| 42 |
36 41
|
eqeltri |
|- sup ( (/) , RR* , < ) e. ( NN0 u. { -oo } ) |
| 43 |
42
|
a1i |
|- ( F e. B -> sup ( (/) , RR* , < ) e. ( NN0 u. { -oo } ) ) |
| 44 |
9 35 43
|
pm2.61ne |
|- ( F e. B -> sup ( ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( CCfld gsum b ) ) " ( F supp ( 0g ` R ) ) ) , RR* , < ) e. ( NN0 u. { -oo } ) ) |
| 45 |
7 44
|
eqeltrd |
|- ( F e. B -> ( D ` F ) e. ( NN0 u. { -oo } ) ) |