Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mulgnndir.b |
|- B = ( Base ` G ) |
2 |
|
mulgnndir.t |
|- .x. = ( .g ` G ) |
3 |
|
mulgnndir.p |
|- .+ = ( +g ` G ) |
4 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> G e. Grp ) |
5 |
4
|
grpmndd |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> G e. Mnd ) |
6 |
|
simprl |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> M e. NN0 ) |
7 |
|
simprr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> N e. NN0 ) |
8 |
|
simpl23 |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> X e. B ) |
9 |
1 2 3
|
mulgnn0dir |
|- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) |
10 |
5 6 7 8 9
|
syl13anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) |
11 |
10
|
anassrs |
|- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ M e. NN0 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) |
12 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> G e. Grp ) |
13 |
|
simp22 |
|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> N e. ZZ ) |
14 |
13
|
adantr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> N e. ZZ ) |
15 |
|
simpl23 |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> X e. B ) |
16 |
|
eqid |
|- ( invg ` G ) = ( invg ` G ) |
17 |
1 2 16
|
mulgneg |
|- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u N .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) ) |
18 |
12 14 15 17
|
syl3anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( -u N .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) ) |
19 |
18
|
oveq1d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( -u N .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( N .x. X ) ) ) |
20 |
1 2
|
mulgcl |
|- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B ) |
21 |
12 14 15 20
|
syl3anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( N .x. X ) e. B ) |
22 |
|
eqid |
|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) |
23 |
1 3 22 16
|
grplinv |
|- ( ( G e. Grp /\ ( N .x. X ) e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( N .x. X ) ) = ( 0g ` G ) ) |
24 |
12 21 23
|
syl2anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( N .x. X ) ) = ( 0g ` G ) ) |
25 |
19 24
|
eqtrd |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( -u N .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) = ( 0g ` G ) ) |
26 |
25
|
oveq2d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( ( -u N .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) = ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( 0g ` G ) ) ) |
27 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( M + N ) e. NN0 ) |
28 |
|
nn0z |
|- ( ( M + N ) e. NN0 -> ( M + N ) e. ZZ ) |
29 |
27 28
|
syl |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( M + N ) e. ZZ ) |
30 |
1 2
|
mulgcl |
|- ( ( G e. Grp /\ ( M + N ) e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( M + N ) .x. X ) e. B ) |
31 |
12 29 15 30
|
syl3anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) e. B ) |
32 |
1 3 22
|
grprid |
|- ( ( G e. Grp /\ ( ( M + N ) .x. X ) e. B ) -> ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) ) |
33 |
12 31 32
|
syl2anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) ) |
34 |
26 33
|
eqtrd |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( ( -u N .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) ) |
35 |
|
nn0z |
|- ( -u N e. NN0 -> -u N e. ZZ ) |
36 |
35
|
ad2antll |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> -u N e. ZZ ) |
37 |
1 2
|
mulgcl |
|- ( ( G e. Grp /\ -u N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u N .x. X ) e. B ) |
38 |
12 36 15 37
|
syl3anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( -u N .x. X ) e. B ) |
39 |
1 3
|
grpass |
|- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( M + N ) .x. X ) e. B /\ ( -u N .x. X ) e. B /\ ( N .x. X ) e. B ) ) -> ( ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( -u N .x. X ) ) .+ ( N .x. X ) ) = ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( ( -u N .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) ) |
40 |
12 31 38 21 39
|
syl13anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( -u N .x. X ) ) .+ ( N .x. X ) ) = ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( ( -u N .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) ) |
41 |
12
|
grpmndd |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> G e. Mnd ) |
42 |
|
simprr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> -u N e. NN0 ) |
43 |
1 2 3
|
mulgnn0dir |
|- ( ( G e. Mnd /\ ( ( M + N ) e. NN0 /\ -u N e. NN0 /\ X e. B ) ) -> ( ( ( M + N ) + -u N ) .x. X ) = ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( -u N .x. X ) ) ) |
44 |
41 27 42 15 43
|
syl13anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( M + N ) + -u N ) .x. X ) = ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( -u N .x. X ) ) ) |
45 |
|
simp21 |
|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> M e. ZZ ) |
46 |
45
|
zcnd |
|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> M e. CC ) |
47 |
13
|
zcnd |
|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> N e. CC ) |
48 |
46 47
|
addcld |
|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( M + N ) e. CC ) |
49 |
48
|
adantr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( M + N ) e. CC ) |
50 |
47
|
adantr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> N e. CC ) |
51 |
49 50
|
negsubd |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( M + N ) + -u N ) = ( ( M + N ) - N ) ) |
52 |
46
|
adantr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> M e. CC ) |
53 |
52 50
|
pncand |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( M + N ) - N ) = M ) |
54 |
51 53
|
eqtrd |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( M + N ) + -u N ) = M ) |
55 |
54
|
oveq1d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( M + N ) + -u N ) .x. X ) = ( M .x. X ) ) |
56 |
44 55
|
eqtr3d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( -u N .x. X ) ) = ( M .x. X ) ) |
57 |
56
|
oveq1d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( -u N .x. X ) ) .+ ( N .x. X ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) |
58 |
40 57
|
eqtr3d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( ( -u N .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) |
59 |
34 58
|
eqtr3d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) |
60 |
59
|
anassrs |
|- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ M e. NN0 ) /\ -u N e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) |
61 |
|
elznn0 |
|- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) ) |
62 |
61
|
simprbi |
|- ( N e. ZZ -> ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) |
63 |
13 62
|
syl |
|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) |
64 |
63
|
adantr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ M e. NN0 ) -> ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) |
65 |
11 60 64
|
mpjaodan |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ M e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) |
66 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> G e. Grp ) |
67 |
45
|
adantr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> M e. ZZ ) |
68 |
|
simpl23 |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> X e. B ) |
69 |
1 2
|
mulgcl |
|- ( ( G e. Grp /\ M e. ZZ /\ X e. B ) -> ( M .x. X ) e. B ) |
70 |
66 67 68 69
|
syl3anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( M .x. X ) e. B ) |
71 |
67
|
znegcld |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> -u M e. ZZ ) |
72 |
1 2
|
mulgcl |
|- ( ( G e. Grp /\ -u M e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u M .x. X ) e. B ) |
73 |
66 71 68 72
|
syl3anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( -u M .x. X ) e. B ) |
74 |
28
|
3ad2ant3 |
|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( M + N ) e. ZZ ) |
75 |
74
|
adantr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( M + N ) e. ZZ ) |
76 |
66 75 68 30
|
syl3anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) e. B ) |
77 |
1 3
|
grpass |
|- ( ( G e. Grp /\ ( ( M .x. X ) e. B /\ ( -u M .x. X ) e. B /\ ( ( M + N ) .x. X ) e. B ) ) -> ( ( ( M .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( ( -u M .x. X ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) ) ) |
78 |
66 70 73 76 77
|
syl13anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( ( M .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( ( -u M .x. X ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) ) ) |
79 |
1 2 16
|
mulgneg |
|- ( ( G e. Grp /\ M e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u M .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) |
80 |
66 67 68 79
|
syl3anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( -u M .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) |
81 |
80
|
oveq2d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) ) |
82 |
1 3 22 16
|
grprinv |
|- ( ( G e. Grp /\ ( M .x. X ) e. B ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) = ( 0g ` G ) ) |
83 |
66 70 82
|
syl2anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) = ( 0g ` G ) ) |
84 |
81 83
|
eqtrd |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) = ( 0g ` G ) ) |
85 |
84
|
oveq1d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( ( M .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) ) |
86 |
1 3 22
|
grplid |
|- ( ( G e. Grp /\ ( ( M + N ) .x. X ) e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) ) |
87 |
66 76 86
|
syl2anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) ) |
88 |
85 87
|
eqtrd |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( ( M .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) ) |
89 |
66
|
grpmndd |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> G e. Mnd ) |
90 |
|
simpr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> -u M e. NN0 ) |
91 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 ) |
92 |
1 2 3
|
mulgnn0dir |
|- ( ( G e. Mnd /\ ( -u M e. NN0 /\ ( M + N ) e. NN0 /\ X e. B ) ) -> ( ( -u M + ( M + N ) ) .x. X ) = ( ( -u M .x. X ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) ) |
93 |
89 90 91 68 92
|
syl13anc |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( -u M + ( M + N ) ) .x. X ) = ( ( -u M .x. X ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) ) |
94 |
46
|
adantr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> M e. CC ) |
95 |
94
|
negcld |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> -u M e. CC ) |
96 |
48
|
adantr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( M + N ) e. CC ) |
97 |
95 96
|
addcomd |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( -u M + ( M + N ) ) = ( ( M + N ) + -u M ) ) |
98 |
96 94
|
negsubd |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M + N ) + -u M ) = ( ( M + N ) - M ) ) |
99 |
47
|
adantr |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> N e. CC ) |
100 |
94 99
|
pncan2d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M + N ) - M ) = N ) |
101 |
97 98 100
|
3eqtrd |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( -u M + ( M + N ) ) = N ) |
102 |
101
|
oveq1d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( -u M + ( M + N ) ) .x. X ) = ( N .x. X ) ) |
103 |
93 102
|
eqtr3d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( -u M .x. X ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( N .x. X ) ) |
104 |
103
|
oveq2d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( ( -u M .x. X ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) |
105 |
78 88 104
|
3eqtr3d |
|- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) |
106 |
|
elznn0 |
|- ( M e. ZZ <-> ( M e. RR /\ ( M e. NN0 \/ -u M e. NN0 ) ) ) |
107 |
106
|
simprbi |
|- ( M e. ZZ -> ( M e. NN0 \/ -u M e. NN0 ) ) |
108 |
45 107
|
syl |
|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( M e. NN0 \/ -u M e. NN0 ) ) |
109 |
65 105 108
|
mpjaodan |
|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) |